-0,000 282 006 392 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 392(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 392(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 392| = 0,000 282 006 392


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 392.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 392 × 2 = 0 + 0,000 564 012 784;
  • 2) 0,000 564 012 784 × 2 = 0 + 0,001 128 025 568;
  • 3) 0,001 128 025 568 × 2 = 0 + 0,002 256 051 136;
  • 4) 0,002 256 051 136 × 2 = 0 + 0,004 512 102 272;
  • 5) 0,004 512 102 272 × 2 = 0 + 0,009 024 204 544;
  • 6) 0,009 024 204 544 × 2 = 0 + 0,018 048 409 088;
  • 7) 0,018 048 409 088 × 2 = 0 + 0,036 096 818 176;
  • 8) 0,036 096 818 176 × 2 = 0 + 0,072 193 636 352;
  • 9) 0,072 193 636 352 × 2 = 0 + 0,144 387 272 704;
  • 10) 0,144 387 272 704 × 2 = 0 + 0,288 774 545 408;
  • 11) 0,288 774 545 408 × 2 = 0 + 0,577 549 090 816;
  • 12) 0,577 549 090 816 × 2 = 1 + 0,155 098 181 632;
  • 13) 0,155 098 181 632 × 2 = 0 + 0,310 196 363 264;
  • 14) 0,310 196 363 264 × 2 = 0 + 0,620 392 726 528;
  • 15) 0,620 392 726 528 × 2 = 1 + 0,240 785 453 056;
  • 16) 0,240 785 453 056 × 2 = 0 + 0,481 570 906 112;
  • 17) 0,481 570 906 112 × 2 = 0 + 0,963 141 812 224;
  • 18) 0,963 141 812 224 × 2 = 1 + 0,926 283 624 448;
  • 19) 0,926 283 624 448 × 2 = 1 + 0,852 567 248 896;
  • 20) 0,852 567 248 896 × 2 = 1 + 0,705 134 497 792;
  • 21) 0,705 134 497 792 × 2 = 1 + 0,410 268 995 584;
  • 22) 0,410 268 995 584 × 2 = 0 + 0,820 537 991 168;
  • 23) 0,820 537 991 168 × 2 = 1 + 0,641 075 982 336;
  • 24) 0,641 075 982 336 × 2 = 1 + 0,282 151 964 672;
  • 25) 0,282 151 964 672 × 2 = 0 + 0,564 303 929 344;
  • 26) 0,564 303 929 344 × 2 = 1 + 0,128 607 858 688;
  • 27) 0,128 607 858 688 × 2 = 0 + 0,257 215 717 376;
  • 28) 0,257 215 717 376 × 2 = 0 + 0,514 431 434 752;
  • 29) 0,514 431 434 752 × 2 = 1 + 0,028 862 869 504;
  • 30) 0,028 862 869 504 × 2 = 0 + 0,057 725 739 008;
  • 31) 0,057 725 739 008 × 2 = 0 + 0,115 451 478 016;
  • 32) 0,115 451 478 016 × 2 = 0 + 0,230 902 956 032;
  • 33) 0,230 902 956 032 × 2 = 0 + 0,461 805 912 064;
  • 34) 0,461 805 912 064 × 2 = 0 + 0,923 611 824 128;
  • 35) 0,923 611 824 128 × 2 = 1 + 0,847 223 648 256;
  • 36) 0,847 223 648 256 × 2 = 1 + 0,694 447 296 512;
  • 37) 0,694 447 296 512 × 2 = 1 + 0,388 894 593 024;
  • 38) 0,388 894 593 024 × 2 = 0 + 0,777 789 186 048;
  • 39) 0,777 789 186 048 × 2 = 1 + 0,555 578 372 096;
  • 40) 0,555 578 372 096 × 2 = 1 + 0,111 156 744 192;
  • 41) 0,111 156 744 192 × 2 = 0 + 0,222 313 488 384;
  • 42) 0,222 313 488 384 × 2 = 0 + 0,444 626 976 768;
  • 43) 0,444 626 976 768 × 2 = 0 + 0,889 253 953 536;
  • 44) 0,889 253 953 536 × 2 = 1 + 0,778 507 907 072;
  • 45) 0,778 507 907 072 × 2 = 1 + 0,557 015 814 144;
  • 46) 0,557 015 814 144 × 2 = 1 + 0,114 031 628 288;
  • 47) 0,114 031 628 288 × 2 = 0 + 0,228 063 256 576;
  • 48) 0,228 063 256 576 × 2 = 0 + 0,456 126 513 152;
  • 49) 0,456 126 513 152 × 2 = 0 + 0,912 253 026 304;
  • 50) 0,912 253 026 304 × 2 = 1 + 0,824 506 052 608;
  • 51) 0,824 506 052 608 × 2 = 1 + 0,649 012 105 216;
  • 52) 0,649 012 105 216 × 2 = 1 + 0,298 024 210 432;
  • 53) 0,298 024 210 432 × 2 = 0 + 0,596 048 420 864;
  • 54) 0,596 048 420 864 × 2 = 1 + 0,192 096 841 728;
  • 55) 0,192 096 841 728 × 2 = 0 + 0,384 193 683 456;
  • 56) 0,384 193 683 456 × 2 = 0 + 0,768 387 366 912;
  • 57) 0,768 387 366 912 × 2 = 1 + 0,536 774 733 824;
  • 58) 0,536 774 733 824 × 2 = 1 + 0,073 549 467 648;
  • 59) 0,073 549 467 648 × 2 = 0 + 0,147 098 935 296;
  • 60) 0,147 098 935 296 × 2 = 0 + 0,294 197 870 592;
  • 61) 0,294 197 870 592 × 2 = 0 + 0,588 395 741 184;
  • 62) 0,588 395 741 184 × 2 = 1 + 0,176 791 482 368;
  • 63) 0,176 791 482 368 × 2 = 0 + 0,353 582 964 736;
  • 64) 0,353 582 964 736 × 2 = 0 + 0,707 165 929 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 392(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 392(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 392(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100 =

0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100


Numărul zecimal -0,000 282 006 392 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1011 0001 1100 0111 0100 1100 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 303 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100