-0,000 282 006 393 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 393(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 393(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 393| = 0,000 282 006 393


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 393.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 393 × 2 = 0 + 0,000 564 012 786;
  • 2) 0,000 564 012 786 × 2 = 0 + 0,001 128 025 572;
  • 3) 0,001 128 025 572 × 2 = 0 + 0,002 256 051 144;
  • 4) 0,002 256 051 144 × 2 = 0 + 0,004 512 102 288;
  • 5) 0,004 512 102 288 × 2 = 0 + 0,009 024 204 576;
  • 6) 0,009 024 204 576 × 2 = 0 + 0,018 048 409 152;
  • 7) 0,018 048 409 152 × 2 = 0 + 0,036 096 818 304;
  • 8) 0,036 096 818 304 × 2 = 0 + 0,072 193 636 608;
  • 9) 0,072 193 636 608 × 2 = 0 + 0,144 387 273 216;
  • 10) 0,144 387 273 216 × 2 = 0 + 0,288 774 546 432;
  • 11) 0,288 774 546 432 × 2 = 0 + 0,577 549 092 864;
  • 12) 0,577 549 092 864 × 2 = 1 + 0,155 098 185 728;
  • 13) 0,155 098 185 728 × 2 = 0 + 0,310 196 371 456;
  • 14) 0,310 196 371 456 × 2 = 0 + 0,620 392 742 912;
  • 15) 0,620 392 742 912 × 2 = 1 + 0,240 785 485 824;
  • 16) 0,240 785 485 824 × 2 = 0 + 0,481 570 971 648;
  • 17) 0,481 570 971 648 × 2 = 0 + 0,963 141 943 296;
  • 18) 0,963 141 943 296 × 2 = 1 + 0,926 283 886 592;
  • 19) 0,926 283 886 592 × 2 = 1 + 0,852 567 773 184;
  • 20) 0,852 567 773 184 × 2 = 1 + 0,705 135 546 368;
  • 21) 0,705 135 546 368 × 2 = 1 + 0,410 271 092 736;
  • 22) 0,410 271 092 736 × 2 = 0 + 0,820 542 185 472;
  • 23) 0,820 542 185 472 × 2 = 1 + 0,641 084 370 944;
  • 24) 0,641 084 370 944 × 2 = 1 + 0,282 168 741 888;
  • 25) 0,282 168 741 888 × 2 = 0 + 0,564 337 483 776;
  • 26) 0,564 337 483 776 × 2 = 1 + 0,128 674 967 552;
  • 27) 0,128 674 967 552 × 2 = 0 + 0,257 349 935 104;
  • 28) 0,257 349 935 104 × 2 = 0 + 0,514 699 870 208;
  • 29) 0,514 699 870 208 × 2 = 1 + 0,029 399 740 416;
  • 30) 0,029 399 740 416 × 2 = 0 + 0,058 799 480 832;
  • 31) 0,058 799 480 832 × 2 = 0 + 0,117 598 961 664;
  • 32) 0,117 598 961 664 × 2 = 0 + 0,235 197 923 328;
  • 33) 0,235 197 923 328 × 2 = 0 + 0,470 395 846 656;
  • 34) 0,470 395 846 656 × 2 = 0 + 0,940 791 693 312;
  • 35) 0,940 791 693 312 × 2 = 1 + 0,881 583 386 624;
  • 36) 0,881 583 386 624 × 2 = 1 + 0,763 166 773 248;
  • 37) 0,763 166 773 248 × 2 = 1 + 0,526 333 546 496;
  • 38) 0,526 333 546 496 × 2 = 1 + 0,052 667 092 992;
  • 39) 0,052 667 092 992 × 2 = 0 + 0,105 334 185 984;
  • 40) 0,105 334 185 984 × 2 = 0 + 0,210 668 371 968;
  • 41) 0,210 668 371 968 × 2 = 0 + 0,421 336 743 936;
  • 42) 0,421 336 743 936 × 2 = 0 + 0,842 673 487 872;
  • 43) 0,842 673 487 872 × 2 = 1 + 0,685 346 975 744;
  • 44) 0,685 346 975 744 × 2 = 1 + 0,370 693 951 488;
  • 45) 0,370 693 951 488 × 2 = 0 + 0,741 387 902 976;
  • 46) 0,741 387 902 976 × 2 = 1 + 0,482 775 805 952;
  • 47) 0,482 775 805 952 × 2 = 0 + 0,965 551 611 904;
  • 48) 0,965 551 611 904 × 2 = 1 + 0,931 103 223 808;
  • 49) 0,931 103 223 808 × 2 = 1 + 0,862 206 447 616;
  • 50) 0,862 206 447 616 × 2 = 1 + 0,724 412 895 232;
  • 51) 0,724 412 895 232 × 2 = 1 + 0,448 825 790 464;
  • 52) 0,448 825 790 464 × 2 = 0 + 0,897 651 580 928;
  • 53) 0,897 651 580 928 × 2 = 1 + 0,795 303 161 856;
  • 54) 0,795 303 161 856 × 2 = 1 + 0,590 606 323 712;
  • 55) 0,590 606 323 712 × 2 = 1 + 0,181 212 647 424;
  • 56) 0,181 212 647 424 × 2 = 0 + 0,362 425 294 848;
  • 57) 0,362 425 294 848 × 2 = 0 + 0,724 850 589 696;
  • 58) 0,724 850 589 696 × 2 = 1 + 0,449 701 179 392;
  • 59) 0,449 701 179 392 × 2 = 0 + 0,899 402 358 784;
  • 60) 0,899 402 358 784 × 2 = 1 + 0,798 804 717 568;
  • 61) 0,798 804 717 568 × 2 = 1 + 0,597 609 435 136;
  • 62) 0,597 609 435 136 × 2 = 1 + 0,195 218 870 272;
  • 63) 0,195 218 870 272 × 2 = 0 + 0,390 437 740 544;
  • 64) 0,390 437 740 544 × 2 = 0 + 0,780 875 481 088;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 393(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 393(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 393(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100 =

0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100


Numărul zecimal -0,000 282 006 393 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 0011 1100 0011 0101 1110 1110 0101 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 411 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100