-0,000 282 006 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 44| = 0,000 282 006 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 44 × 2 = 0 + 0,000 564 012 88;
  • 2) 0,000 564 012 88 × 2 = 0 + 0,001 128 025 76;
  • 3) 0,001 128 025 76 × 2 = 0 + 0,002 256 051 52;
  • 4) 0,002 256 051 52 × 2 = 0 + 0,004 512 103 04;
  • 5) 0,004 512 103 04 × 2 = 0 + 0,009 024 206 08;
  • 6) 0,009 024 206 08 × 2 = 0 + 0,018 048 412 16;
  • 7) 0,018 048 412 16 × 2 = 0 + 0,036 096 824 32;
  • 8) 0,036 096 824 32 × 2 = 0 + 0,072 193 648 64;
  • 9) 0,072 193 648 64 × 2 = 0 + 0,144 387 297 28;
  • 10) 0,144 387 297 28 × 2 = 0 + 0,288 774 594 56;
  • 11) 0,288 774 594 56 × 2 = 0 + 0,577 549 189 12;
  • 12) 0,577 549 189 12 × 2 = 1 + 0,155 098 378 24;
  • 13) 0,155 098 378 24 × 2 = 0 + 0,310 196 756 48;
  • 14) 0,310 196 756 48 × 2 = 0 + 0,620 393 512 96;
  • 15) 0,620 393 512 96 × 2 = 1 + 0,240 787 025 92;
  • 16) 0,240 787 025 92 × 2 = 0 + 0,481 574 051 84;
  • 17) 0,481 574 051 84 × 2 = 0 + 0,963 148 103 68;
  • 18) 0,963 148 103 68 × 2 = 1 + 0,926 296 207 36;
  • 19) 0,926 296 207 36 × 2 = 1 + 0,852 592 414 72;
  • 20) 0,852 592 414 72 × 2 = 1 + 0,705 184 829 44;
  • 21) 0,705 184 829 44 × 2 = 1 + 0,410 369 658 88;
  • 22) 0,410 369 658 88 × 2 = 0 + 0,820 739 317 76;
  • 23) 0,820 739 317 76 × 2 = 1 + 0,641 478 635 52;
  • 24) 0,641 478 635 52 × 2 = 1 + 0,282 957 271 04;
  • 25) 0,282 957 271 04 × 2 = 0 + 0,565 914 542 08;
  • 26) 0,565 914 542 08 × 2 = 1 + 0,131 829 084 16;
  • 27) 0,131 829 084 16 × 2 = 0 + 0,263 658 168 32;
  • 28) 0,263 658 168 32 × 2 = 0 + 0,527 316 336 64;
  • 29) 0,527 316 336 64 × 2 = 1 + 0,054 632 673 28;
  • 30) 0,054 632 673 28 × 2 = 0 + 0,109 265 346 56;
  • 31) 0,109 265 346 56 × 2 = 0 + 0,218 530 693 12;
  • 32) 0,218 530 693 12 × 2 = 0 + 0,437 061 386 24;
  • 33) 0,437 061 386 24 × 2 = 0 + 0,874 122 772 48;
  • 34) 0,874 122 772 48 × 2 = 1 + 0,748 245 544 96;
  • 35) 0,748 245 544 96 × 2 = 1 + 0,496 491 089 92;
  • 36) 0,496 491 089 92 × 2 = 0 + 0,992 982 179 84;
  • 37) 0,992 982 179 84 × 2 = 1 + 0,985 964 359 68;
  • 38) 0,985 964 359 68 × 2 = 1 + 0,971 928 719 36;
  • 39) 0,971 928 719 36 × 2 = 1 + 0,943 857 438 72;
  • 40) 0,943 857 438 72 × 2 = 1 + 0,887 714 877 44;
  • 41) 0,887 714 877 44 × 2 = 1 + 0,775 429 754 88;
  • 42) 0,775 429 754 88 × 2 = 1 + 0,550 859 509 76;
  • 43) 0,550 859 509 76 × 2 = 1 + 0,101 719 019 52;
  • 44) 0,101 719 019 52 × 2 = 0 + 0,203 438 039 04;
  • 45) 0,203 438 039 04 × 2 = 0 + 0,406 876 078 08;
  • 46) 0,406 876 078 08 × 2 = 0 + 0,813 752 156 16;
  • 47) 0,813 752 156 16 × 2 = 1 + 0,627 504 312 32;
  • 48) 0,627 504 312 32 × 2 = 1 + 0,255 008 624 64;
  • 49) 0,255 008 624 64 × 2 = 0 + 0,510 017 249 28;
  • 50) 0,510 017 249 28 × 2 = 1 + 0,020 034 498 56;
  • 51) 0,020 034 498 56 × 2 = 0 + 0,040 068 997 12;
  • 52) 0,040 068 997 12 × 2 = 0 + 0,080 137 994 24;
  • 53) 0,080 137 994 24 × 2 = 0 + 0,160 275 988 48;
  • 54) 0,160 275 988 48 × 2 = 0 + 0,320 551 976 96;
  • 55) 0,320 551 976 96 × 2 = 0 + 0,641 103 953 92;
  • 56) 0,641 103 953 92 × 2 = 1 + 0,282 207 907 84;
  • 57) 0,282 207 907 84 × 2 = 0 + 0,564 415 815 68;
  • 58) 0,564 415 815 68 × 2 = 1 + 0,128 831 631 36;
  • 59) 0,128 831 631 36 × 2 = 0 + 0,257 663 262 72;
  • 60) 0,257 663 262 72 × 2 = 0 + 0,515 326 525 44;
  • 61) 0,515 326 525 44 × 2 = 1 + 0,030 653 050 88;
  • 62) 0,030 653 050 88 × 2 = 0 + 0,061 306 101 76;
  • 63) 0,061 306 101 76 × 2 = 0 + 0,122 612 203 52;
  • 64) 0,122 612 203 52 × 2 = 0 + 0,245 224 407 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000 =

0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000


Numărul zecimal -0,000 282 006 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 0110 1111 1110 0011 0100 0001 0100 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 59 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100