-0,000 282 006 502 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 502(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 502(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 502| = 0,000 282 006 502


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 502.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 502 × 2 = 0 + 0,000 564 013 004;
  • 2) 0,000 564 013 004 × 2 = 0 + 0,001 128 026 008;
  • 3) 0,001 128 026 008 × 2 = 0 + 0,002 256 052 016;
  • 4) 0,002 256 052 016 × 2 = 0 + 0,004 512 104 032;
  • 5) 0,004 512 104 032 × 2 = 0 + 0,009 024 208 064;
  • 6) 0,009 024 208 064 × 2 = 0 + 0,018 048 416 128;
  • 7) 0,018 048 416 128 × 2 = 0 + 0,036 096 832 256;
  • 8) 0,036 096 832 256 × 2 = 0 + 0,072 193 664 512;
  • 9) 0,072 193 664 512 × 2 = 0 + 0,144 387 329 024;
  • 10) 0,144 387 329 024 × 2 = 0 + 0,288 774 658 048;
  • 11) 0,288 774 658 048 × 2 = 0 + 0,577 549 316 096;
  • 12) 0,577 549 316 096 × 2 = 1 + 0,155 098 632 192;
  • 13) 0,155 098 632 192 × 2 = 0 + 0,310 197 264 384;
  • 14) 0,310 197 264 384 × 2 = 0 + 0,620 394 528 768;
  • 15) 0,620 394 528 768 × 2 = 1 + 0,240 789 057 536;
  • 16) 0,240 789 057 536 × 2 = 0 + 0,481 578 115 072;
  • 17) 0,481 578 115 072 × 2 = 0 + 0,963 156 230 144;
  • 18) 0,963 156 230 144 × 2 = 1 + 0,926 312 460 288;
  • 19) 0,926 312 460 288 × 2 = 1 + 0,852 624 920 576;
  • 20) 0,852 624 920 576 × 2 = 1 + 0,705 249 841 152;
  • 21) 0,705 249 841 152 × 2 = 1 + 0,410 499 682 304;
  • 22) 0,410 499 682 304 × 2 = 0 + 0,820 999 364 608;
  • 23) 0,820 999 364 608 × 2 = 1 + 0,641 998 729 216;
  • 24) 0,641 998 729 216 × 2 = 1 + 0,283 997 458 432;
  • 25) 0,283 997 458 432 × 2 = 0 + 0,567 994 916 864;
  • 26) 0,567 994 916 864 × 2 = 1 + 0,135 989 833 728;
  • 27) 0,135 989 833 728 × 2 = 0 + 0,271 979 667 456;
  • 28) 0,271 979 667 456 × 2 = 0 + 0,543 959 334 912;
  • 29) 0,543 959 334 912 × 2 = 1 + 0,087 918 669 824;
  • 30) 0,087 918 669 824 × 2 = 0 + 0,175 837 339 648;
  • 31) 0,175 837 339 648 × 2 = 0 + 0,351 674 679 296;
  • 32) 0,351 674 679 296 × 2 = 0 + 0,703 349 358 592;
  • 33) 0,703 349 358 592 × 2 = 1 + 0,406 698 717 184;
  • 34) 0,406 698 717 184 × 2 = 0 + 0,813 397 434 368;
  • 35) 0,813 397 434 368 × 2 = 1 + 0,626 794 868 736;
  • 36) 0,626 794 868 736 × 2 = 1 + 0,253 589 737 472;
  • 37) 0,253 589 737 472 × 2 = 0 + 0,507 179 474 944;
  • 38) 0,507 179 474 944 × 2 = 1 + 0,014 358 949 888;
  • 39) 0,014 358 949 888 × 2 = 0 + 0,028 717 899 776;
  • 40) 0,028 717 899 776 × 2 = 0 + 0,057 435 799 552;
  • 41) 0,057 435 799 552 × 2 = 0 + 0,114 871 599 104;
  • 42) 0,114 871 599 104 × 2 = 0 + 0,229 743 198 208;
  • 43) 0,229 743 198 208 × 2 = 0 + 0,459 486 396 416;
  • 44) 0,459 486 396 416 × 2 = 0 + 0,918 972 792 832;
  • 45) 0,918 972 792 832 × 2 = 1 + 0,837 945 585 664;
  • 46) 0,837 945 585 664 × 2 = 1 + 0,675 891 171 328;
  • 47) 0,675 891 171 328 × 2 = 1 + 0,351 782 342 656;
  • 48) 0,351 782 342 656 × 2 = 0 + 0,703 564 685 312;
  • 49) 0,703 564 685 312 × 2 = 1 + 0,407 129 370 624;
  • 50) 0,407 129 370 624 × 2 = 0 + 0,814 258 741 248;
  • 51) 0,814 258 741 248 × 2 = 1 + 0,628 517 482 496;
  • 52) 0,628 517 482 496 × 2 = 1 + 0,257 034 964 992;
  • 53) 0,257 034 964 992 × 2 = 0 + 0,514 069 929 984;
  • 54) 0,514 069 929 984 × 2 = 1 + 0,028 139 859 968;
  • 55) 0,028 139 859 968 × 2 = 0 + 0,056 279 719 936;
  • 56) 0,056 279 719 936 × 2 = 0 + 0,112 559 439 872;
  • 57) 0,112 559 439 872 × 2 = 0 + 0,225 118 879 744;
  • 58) 0,225 118 879 744 × 2 = 0 + 0,450 237 759 488;
  • 59) 0,450 237 759 488 × 2 = 0 + 0,900 475 518 976;
  • 60) 0,900 475 518 976 × 2 = 1 + 0,800 951 037 952;
  • 61) 0,800 951 037 952 × 2 = 1 + 0,601 902 075 904;
  • 62) 0,601 902 075 904 × 2 = 1 + 0,203 804 151 808;
  • 63) 0,203 804 151 808 × 2 = 0 + 0,407 608 303 616;
  • 64) 0,407 608 303 616 × 2 = 0 + 0,815 216 607 232;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 502(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 502(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 502(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100 =

0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 006 502 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 1011 0100 0000 1110 1011 0100 0001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 532 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100