-0,000 282 006 52 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 52(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 52(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 52| = 0,000 282 006 52


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 52.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 52 × 2 = 0 + 0,000 564 013 04;
  • 2) 0,000 564 013 04 × 2 = 0 + 0,001 128 026 08;
  • 3) 0,001 128 026 08 × 2 = 0 + 0,002 256 052 16;
  • 4) 0,002 256 052 16 × 2 = 0 + 0,004 512 104 32;
  • 5) 0,004 512 104 32 × 2 = 0 + 0,009 024 208 64;
  • 6) 0,009 024 208 64 × 2 = 0 + 0,018 048 417 28;
  • 7) 0,018 048 417 28 × 2 = 0 + 0,036 096 834 56;
  • 8) 0,036 096 834 56 × 2 = 0 + 0,072 193 669 12;
  • 9) 0,072 193 669 12 × 2 = 0 + 0,144 387 338 24;
  • 10) 0,144 387 338 24 × 2 = 0 + 0,288 774 676 48;
  • 11) 0,288 774 676 48 × 2 = 0 + 0,577 549 352 96;
  • 12) 0,577 549 352 96 × 2 = 1 + 0,155 098 705 92;
  • 13) 0,155 098 705 92 × 2 = 0 + 0,310 197 411 84;
  • 14) 0,310 197 411 84 × 2 = 0 + 0,620 394 823 68;
  • 15) 0,620 394 823 68 × 2 = 1 + 0,240 789 647 36;
  • 16) 0,240 789 647 36 × 2 = 0 + 0,481 579 294 72;
  • 17) 0,481 579 294 72 × 2 = 0 + 0,963 158 589 44;
  • 18) 0,963 158 589 44 × 2 = 1 + 0,926 317 178 88;
  • 19) 0,926 317 178 88 × 2 = 1 + 0,852 634 357 76;
  • 20) 0,852 634 357 76 × 2 = 1 + 0,705 268 715 52;
  • 21) 0,705 268 715 52 × 2 = 1 + 0,410 537 431 04;
  • 22) 0,410 537 431 04 × 2 = 0 + 0,821 074 862 08;
  • 23) 0,821 074 862 08 × 2 = 1 + 0,642 149 724 16;
  • 24) 0,642 149 724 16 × 2 = 1 + 0,284 299 448 32;
  • 25) 0,284 299 448 32 × 2 = 0 + 0,568 598 896 64;
  • 26) 0,568 598 896 64 × 2 = 1 + 0,137 197 793 28;
  • 27) 0,137 197 793 28 × 2 = 0 + 0,274 395 586 56;
  • 28) 0,274 395 586 56 × 2 = 0 + 0,548 791 173 12;
  • 29) 0,548 791 173 12 × 2 = 1 + 0,097 582 346 24;
  • 30) 0,097 582 346 24 × 2 = 0 + 0,195 164 692 48;
  • 31) 0,195 164 692 48 × 2 = 0 + 0,390 329 384 96;
  • 32) 0,390 329 384 96 × 2 = 0 + 0,780 658 769 92;
  • 33) 0,780 658 769 92 × 2 = 1 + 0,561 317 539 84;
  • 34) 0,561 317 539 84 × 2 = 1 + 0,122 635 079 68;
  • 35) 0,122 635 079 68 × 2 = 0 + 0,245 270 159 36;
  • 36) 0,245 270 159 36 × 2 = 0 + 0,490 540 318 72;
  • 37) 0,490 540 318 72 × 2 = 0 + 0,981 080 637 44;
  • 38) 0,981 080 637 44 × 2 = 1 + 0,962 161 274 88;
  • 39) 0,962 161 274 88 × 2 = 1 + 0,924 322 549 76;
  • 40) 0,924 322 549 76 × 2 = 1 + 0,848 645 099 52;
  • 41) 0,848 645 099 52 × 2 = 1 + 0,697 290 199 04;
  • 42) 0,697 290 199 04 × 2 = 1 + 0,394 580 398 08;
  • 43) 0,394 580 398 08 × 2 = 0 + 0,789 160 796 16;
  • 44) 0,789 160 796 16 × 2 = 1 + 0,578 321 592 32;
  • 45) 0,578 321 592 32 × 2 = 1 + 0,156 643 184 64;
  • 46) 0,156 643 184 64 × 2 = 0 + 0,313 286 369 28;
  • 47) 0,313 286 369 28 × 2 = 0 + 0,626 572 738 56;
  • 48) 0,626 572 738 56 × 2 = 1 + 0,253 145 477 12;
  • 49) 0,253 145 477 12 × 2 = 0 + 0,506 290 954 24;
  • 50) 0,506 290 954 24 × 2 = 1 + 0,012 581 908 48;
  • 51) 0,012 581 908 48 × 2 = 0 + 0,025 163 816 96;
  • 52) 0,025 163 816 96 × 2 = 0 + 0,050 327 633 92;
  • 53) 0,050 327 633 92 × 2 = 0 + 0,100 655 267 84;
  • 54) 0,100 655 267 84 × 2 = 0 + 0,201 310 535 68;
  • 55) 0,201 310 535 68 × 2 = 0 + 0,402 621 071 36;
  • 56) 0,402 621 071 36 × 2 = 0 + 0,805 242 142 72;
  • 57) 0,805 242 142 72 × 2 = 1 + 0,610 484 285 44;
  • 58) 0,610 484 285 44 × 2 = 1 + 0,220 968 570 88;
  • 59) 0,220 968 570 88 × 2 = 0 + 0,441 937 141 76;
  • 60) 0,441 937 141 76 × 2 = 0 + 0,883 874 283 52;
  • 61) 0,883 874 283 52 × 2 = 1 + 0,767 748 567 04;
  • 62) 0,767 748 567 04 × 2 = 1 + 0,535 497 134 08;
  • 63) 0,535 497 134 08 × 2 = 1 + 0,070 994 268 16;
  • 64) 0,070 994 268 16 × 2 = 0 + 0,141 988 536 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 52(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110 =

0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110


Numărul zecimal -0,000 282 006 52 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1000 1100 0111 1101 1001 0100 0000 1100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100