-0,000 282 006 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 62| = 0,000 282 006 62


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 62 × 2 = 0 + 0,000 564 013 24;
  • 2) 0,000 564 013 24 × 2 = 0 + 0,001 128 026 48;
  • 3) 0,001 128 026 48 × 2 = 0 + 0,002 256 052 96;
  • 4) 0,002 256 052 96 × 2 = 0 + 0,004 512 105 92;
  • 5) 0,004 512 105 92 × 2 = 0 + 0,009 024 211 84;
  • 6) 0,009 024 211 84 × 2 = 0 + 0,018 048 423 68;
  • 7) 0,018 048 423 68 × 2 = 0 + 0,036 096 847 36;
  • 8) 0,036 096 847 36 × 2 = 0 + 0,072 193 694 72;
  • 9) 0,072 193 694 72 × 2 = 0 + 0,144 387 389 44;
  • 10) 0,144 387 389 44 × 2 = 0 + 0,288 774 778 88;
  • 11) 0,288 774 778 88 × 2 = 0 + 0,577 549 557 76;
  • 12) 0,577 549 557 76 × 2 = 1 + 0,155 099 115 52;
  • 13) 0,155 099 115 52 × 2 = 0 + 0,310 198 231 04;
  • 14) 0,310 198 231 04 × 2 = 0 + 0,620 396 462 08;
  • 15) 0,620 396 462 08 × 2 = 1 + 0,240 792 924 16;
  • 16) 0,240 792 924 16 × 2 = 0 + 0,481 585 848 32;
  • 17) 0,481 585 848 32 × 2 = 0 + 0,963 171 696 64;
  • 18) 0,963 171 696 64 × 2 = 1 + 0,926 343 393 28;
  • 19) 0,926 343 393 28 × 2 = 1 + 0,852 686 786 56;
  • 20) 0,852 686 786 56 × 2 = 1 + 0,705 373 573 12;
  • 21) 0,705 373 573 12 × 2 = 1 + 0,410 747 146 24;
  • 22) 0,410 747 146 24 × 2 = 0 + 0,821 494 292 48;
  • 23) 0,821 494 292 48 × 2 = 1 + 0,642 988 584 96;
  • 24) 0,642 988 584 96 × 2 = 1 + 0,285 977 169 92;
  • 25) 0,285 977 169 92 × 2 = 0 + 0,571 954 339 84;
  • 26) 0,571 954 339 84 × 2 = 1 + 0,143 908 679 68;
  • 27) 0,143 908 679 68 × 2 = 0 + 0,287 817 359 36;
  • 28) 0,287 817 359 36 × 2 = 0 + 0,575 634 718 72;
  • 29) 0,575 634 718 72 × 2 = 1 + 0,151 269 437 44;
  • 30) 0,151 269 437 44 × 2 = 0 + 0,302 538 874 88;
  • 31) 0,302 538 874 88 × 2 = 0 + 0,605 077 749 76;
  • 32) 0,605 077 749 76 × 2 = 1 + 0,210 155 499 52;
  • 33) 0,210 155 499 52 × 2 = 0 + 0,420 310 999 04;
  • 34) 0,420 310 999 04 × 2 = 0 + 0,840 621 998 08;
  • 35) 0,840 621 998 08 × 2 = 1 + 0,681 243 996 16;
  • 36) 0,681 243 996 16 × 2 = 1 + 0,362 487 992 32;
  • 37) 0,362 487 992 32 × 2 = 0 + 0,724 975 984 64;
  • 38) 0,724 975 984 64 × 2 = 1 + 0,449 951 969 28;
  • 39) 0,449 951 969 28 × 2 = 0 + 0,899 903 938 56;
  • 40) 0,899 903 938 56 × 2 = 1 + 0,799 807 877 12;
  • 41) 0,799 807 877 12 × 2 = 1 + 0,599 615 754 24;
  • 42) 0,599 615 754 24 × 2 = 1 + 0,199 231 508 48;
  • 43) 0,199 231 508 48 × 2 = 0 + 0,398 463 016 96;
  • 44) 0,398 463 016 96 × 2 = 0 + 0,796 926 033 92;
  • 45) 0,796 926 033 92 × 2 = 1 + 0,593 852 067 84;
  • 46) 0,593 852 067 84 × 2 = 1 + 0,187 704 135 68;
  • 47) 0,187 704 135 68 × 2 = 0 + 0,375 408 271 36;
  • 48) 0,375 408 271 36 × 2 = 0 + 0,750 816 542 72;
  • 49) 0,750 816 542 72 × 2 = 1 + 0,501 633 085 44;
  • 50) 0,501 633 085 44 × 2 = 1 + 0,003 266 170 88;
  • 51) 0,003 266 170 88 × 2 = 0 + 0,006 532 341 76;
  • 52) 0,006 532 341 76 × 2 = 0 + 0,013 064 683 52;
  • 53) 0,013 064 683 52 × 2 = 0 + 0,026 129 367 04;
  • 54) 0,026 129 367 04 × 2 = 0 + 0,052 258 734 08;
  • 55) 0,052 258 734 08 × 2 = 0 + 0,104 517 468 16;
  • 56) 0,104 517 468 16 × 2 = 0 + 0,209 034 936 32;
  • 57) 0,209 034 936 32 × 2 = 0 + 0,418 069 872 64;
  • 58) 0,418 069 872 64 × 2 = 0 + 0,836 139 745 28;
  • 59) 0,836 139 745 28 × 2 = 1 + 0,672 279 490 56;
  • 60) 0,672 279 490 56 × 2 = 1 + 0,344 558 981 12;
  • 61) 0,344 558 981 12 × 2 = 0 + 0,689 117 962 24;
  • 62) 0,689 117 962 24 × 2 = 1 + 0,378 235 924 48;
  • 63) 0,378 235 924 48 × 2 = 0 + 0,756 471 848 96;
  • 64) 0,756 471 848 96 × 2 = 1 + 0,512 943 697 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101 =

0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101


Numărul zecimal -0,000 282 006 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1001 0011 0101 1100 1100 1100 0000 0011 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100