-0,000 282 006 92 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 006 92(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 006 92(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 006 92| = 0,000 282 006 92


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 006 92.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 006 92 × 2 = 0 + 0,000 564 013 84;
  • 2) 0,000 564 013 84 × 2 = 0 + 0,001 128 027 68;
  • 3) 0,001 128 027 68 × 2 = 0 + 0,002 256 055 36;
  • 4) 0,002 256 055 36 × 2 = 0 + 0,004 512 110 72;
  • 5) 0,004 512 110 72 × 2 = 0 + 0,009 024 221 44;
  • 6) 0,009 024 221 44 × 2 = 0 + 0,018 048 442 88;
  • 7) 0,018 048 442 88 × 2 = 0 + 0,036 096 885 76;
  • 8) 0,036 096 885 76 × 2 = 0 + 0,072 193 771 52;
  • 9) 0,072 193 771 52 × 2 = 0 + 0,144 387 543 04;
  • 10) 0,144 387 543 04 × 2 = 0 + 0,288 775 086 08;
  • 11) 0,288 775 086 08 × 2 = 0 + 0,577 550 172 16;
  • 12) 0,577 550 172 16 × 2 = 1 + 0,155 100 344 32;
  • 13) 0,155 100 344 32 × 2 = 0 + 0,310 200 688 64;
  • 14) 0,310 200 688 64 × 2 = 0 + 0,620 401 377 28;
  • 15) 0,620 401 377 28 × 2 = 1 + 0,240 802 754 56;
  • 16) 0,240 802 754 56 × 2 = 0 + 0,481 605 509 12;
  • 17) 0,481 605 509 12 × 2 = 0 + 0,963 211 018 24;
  • 18) 0,963 211 018 24 × 2 = 1 + 0,926 422 036 48;
  • 19) 0,926 422 036 48 × 2 = 1 + 0,852 844 072 96;
  • 20) 0,852 844 072 96 × 2 = 1 + 0,705 688 145 92;
  • 21) 0,705 688 145 92 × 2 = 1 + 0,411 376 291 84;
  • 22) 0,411 376 291 84 × 2 = 0 + 0,822 752 583 68;
  • 23) 0,822 752 583 68 × 2 = 1 + 0,645 505 167 36;
  • 24) 0,645 505 167 36 × 2 = 1 + 0,291 010 334 72;
  • 25) 0,291 010 334 72 × 2 = 0 + 0,582 020 669 44;
  • 26) 0,582 020 669 44 × 2 = 1 + 0,164 041 338 88;
  • 27) 0,164 041 338 88 × 2 = 0 + 0,328 082 677 76;
  • 28) 0,328 082 677 76 × 2 = 0 + 0,656 165 355 52;
  • 29) 0,656 165 355 52 × 2 = 1 + 0,312 330 711 04;
  • 30) 0,312 330 711 04 × 2 = 0 + 0,624 661 422 08;
  • 31) 0,624 661 422 08 × 2 = 1 + 0,249 322 844 16;
  • 32) 0,249 322 844 16 × 2 = 0 + 0,498 645 688 32;
  • 33) 0,498 645 688 32 × 2 = 0 + 0,997 291 376 64;
  • 34) 0,997 291 376 64 × 2 = 1 + 0,994 582 753 28;
  • 35) 0,994 582 753 28 × 2 = 1 + 0,989 165 506 56;
  • 36) 0,989 165 506 56 × 2 = 1 + 0,978 331 013 12;
  • 37) 0,978 331 013 12 × 2 = 1 + 0,956 662 026 24;
  • 38) 0,956 662 026 24 × 2 = 1 + 0,913 324 052 48;
  • 39) 0,913 324 052 48 × 2 = 1 + 0,826 648 104 96;
  • 40) 0,826 648 104 96 × 2 = 1 + 0,653 296 209 92;
  • 41) 0,653 296 209 92 × 2 = 1 + 0,306 592 419 84;
  • 42) 0,306 592 419 84 × 2 = 0 + 0,613 184 839 68;
  • 43) 0,613 184 839 68 × 2 = 1 + 0,226 369 679 36;
  • 44) 0,226 369 679 36 × 2 = 0 + 0,452 739 358 72;
  • 45) 0,452 739 358 72 × 2 = 0 + 0,905 478 717 44;
  • 46) 0,905 478 717 44 × 2 = 1 + 0,810 957 434 88;
  • 47) 0,810 957 434 88 × 2 = 1 + 0,621 914 869 76;
  • 48) 0,621 914 869 76 × 2 = 1 + 0,243 829 739 52;
  • 49) 0,243 829 739 52 × 2 = 0 + 0,487 659 479 04;
  • 50) 0,487 659 479 04 × 2 = 0 + 0,975 318 958 08;
  • 51) 0,975 318 958 08 × 2 = 1 + 0,950 637 916 16;
  • 52) 0,950 637 916 16 × 2 = 1 + 0,901 275 832 32;
  • 53) 0,901 275 832 32 × 2 = 1 + 0,802 551 664 64;
  • 54) 0,802 551 664 64 × 2 = 1 + 0,605 103 329 28;
  • 55) 0,605 103 329 28 × 2 = 1 + 0,210 206 658 56;
  • 56) 0,210 206 658 56 × 2 = 0 + 0,420 413 317 12;
  • 57) 0,420 413 317 12 × 2 = 0 + 0,840 826 634 24;
  • 58) 0,840 826 634 24 × 2 = 1 + 0,681 653 268 48;
  • 59) 0,681 653 268 48 × 2 = 1 + 0,363 306 536 96;
  • 60) 0,363 306 536 96 × 2 = 0 + 0,726 613 073 92;
  • 61) 0,726 613 073 92 × 2 = 1 + 0,453 226 147 84;
  • 62) 0,453 226 147 84 × 2 = 0 + 0,906 452 295 68;
  • 63) 0,906 452 295 68 × 2 = 1 + 0,812 904 591 36;
  • 64) 0,812 904 591 36 × 2 = 1 + 0,625 809 182 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 006 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 006 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 006 92(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011 =

0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 006 92 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1010 0111 1111 1010 0111 0011 1110 0110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 36 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100