-0,000 282 007 22 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 22(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 22(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 22| = 0,000 282 007 22


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 22.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 22 × 2 = 0 + 0,000 564 014 44;
  • 2) 0,000 564 014 44 × 2 = 0 + 0,001 128 028 88;
  • 3) 0,001 128 028 88 × 2 = 0 + 0,002 256 057 76;
  • 4) 0,002 256 057 76 × 2 = 0 + 0,004 512 115 52;
  • 5) 0,004 512 115 52 × 2 = 0 + 0,009 024 231 04;
  • 6) 0,009 024 231 04 × 2 = 0 + 0,018 048 462 08;
  • 7) 0,018 048 462 08 × 2 = 0 + 0,036 096 924 16;
  • 8) 0,036 096 924 16 × 2 = 0 + 0,072 193 848 32;
  • 9) 0,072 193 848 32 × 2 = 0 + 0,144 387 696 64;
  • 10) 0,144 387 696 64 × 2 = 0 + 0,288 775 393 28;
  • 11) 0,288 775 393 28 × 2 = 0 + 0,577 550 786 56;
  • 12) 0,577 550 786 56 × 2 = 1 + 0,155 101 573 12;
  • 13) 0,155 101 573 12 × 2 = 0 + 0,310 203 146 24;
  • 14) 0,310 203 146 24 × 2 = 0 + 0,620 406 292 48;
  • 15) 0,620 406 292 48 × 2 = 1 + 0,240 812 584 96;
  • 16) 0,240 812 584 96 × 2 = 0 + 0,481 625 169 92;
  • 17) 0,481 625 169 92 × 2 = 0 + 0,963 250 339 84;
  • 18) 0,963 250 339 84 × 2 = 1 + 0,926 500 679 68;
  • 19) 0,926 500 679 68 × 2 = 1 + 0,853 001 359 36;
  • 20) 0,853 001 359 36 × 2 = 1 + 0,706 002 718 72;
  • 21) 0,706 002 718 72 × 2 = 1 + 0,412 005 437 44;
  • 22) 0,412 005 437 44 × 2 = 0 + 0,824 010 874 88;
  • 23) 0,824 010 874 88 × 2 = 1 + 0,648 021 749 76;
  • 24) 0,648 021 749 76 × 2 = 1 + 0,296 043 499 52;
  • 25) 0,296 043 499 52 × 2 = 0 + 0,592 086 999 04;
  • 26) 0,592 086 999 04 × 2 = 1 + 0,184 173 998 08;
  • 27) 0,184 173 998 08 × 2 = 0 + 0,368 347 996 16;
  • 28) 0,368 347 996 16 × 2 = 0 + 0,736 695 992 32;
  • 29) 0,736 695 992 32 × 2 = 1 + 0,473 391 984 64;
  • 30) 0,473 391 984 64 × 2 = 0 + 0,946 783 969 28;
  • 31) 0,946 783 969 28 × 2 = 1 + 0,893 567 938 56;
  • 32) 0,893 567 938 56 × 2 = 1 + 0,787 135 877 12;
  • 33) 0,787 135 877 12 × 2 = 1 + 0,574 271 754 24;
  • 34) 0,574 271 754 24 × 2 = 1 + 0,148 543 508 48;
  • 35) 0,148 543 508 48 × 2 = 0 + 0,297 087 016 96;
  • 36) 0,297 087 016 96 × 2 = 0 + 0,594 174 033 92;
  • 37) 0,594 174 033 92 × 2 = 1 + 0,188 348 067 84;
  • 38) 0,188 348 067 84 × 2 = 0 + 0,376 696 135 68;
  • 39) 0,376 696 135 68 × 2 = 0 + 0,753 392 271 36;
  • 40) 0,753 392 271 36 × 2 = 1 + 0,506 784 542 72;
  • 41) 0,506 784 542 72 × 2 = 1 + 0,013 569 085 44;
  • 42) 0,013 569 085 44 × 2 = 0 + 0,027 138 170 88;
  • 43) 0,027 138 170 88 × 2 = 0 + 0,054 276 341 76;
  • 44) 0,054 276 341 76 × 2 = 0 + 0,108 552 683 52;
  • 45) 0,108 552 683 52 × 2 = 0 + 0,217 105 367 04;
  • 46) 0,217 105 367 04 × 2 = 0 + 0,434 210 734 08;
  • 47) 0,434 210 734 08 × 2 = 0 + 0,868 421 468 16;
  • 48) 0,868 421 468 16 × 2 = 1 + 0,736 842 936 32;
  • 49) 0,736 842 936 32 × 2 = 1 + 0,473 685 872 64;
  • 50) 0,473 685 872 64 × 2 = 0 + 0,947 371 745 28;
  • 51) 0,947 371 745 28 × 2 = 1 + 0,894 743 490 56;
  • 52) 0,894 743 490 56 × 2 = 1 + 0,789 486 981 12;
  • 53) 0,789 486 981 12 × 2 = 1 + 0,578 973 962 24;
  • 54) 0,578 973 962 24 × 2 = 1 + 0,157 947 924 48;
  • 55) 0,157 947 924 48 × 2 = 0 + 0,315 895 848 96;
  • 56) 0,315 895 848 96 × 2 = 0 + 0,631 791 697 92;
  • 57) 0,631 791 697 92 × 2 = 1 + 0,263 583 395 84;
  • 58) 0,263 583 395 84 × 2 = 0 + 0,527 166 791 68;
  • 59) 0,527 166 791 68 × 2 = 1 + 0,054 333 583 36;
  • 60) 0,054 333 583 36 × 2 = 0 + 0,108 667 166 72;
  • 61) 0,108 667 166 72 × 2 = 0 + 0,217 334 333 44;
  • 62) 0,217 334 333 44 × 2 = 0 + 0,434 668 666 88;
  • 63) 0,434 668 666 88 × 2 = 0 + 0,869 337 333 76;
  • 64) 0,869 337 333 76 × 2 = 1 + 0,738 674 667 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001 =

0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001


Numărul zecimal -0,000 282 007 22 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1011 1100 1001 1000 0001 1011 1100 1010 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 18 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100