-0,000 282 007 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 24| = 0,000 282 007 24


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 24 × 2 = 0 + 0,000 564 014 48;
  • 2) 0,000 564 014 48 × 2 = 0 + 0,001 128 028 96;
  • 3) 0,001 128 028 96 × 2 = 0 + 0,002 256 057 92;
  • 4) 0,002 256 057 92 × 2 = 0 + 0,004 512 115 84;
  • 5) 0,004 512 115 84 × 2 = 0 + 0,009 024 231 68;
  • 6) 0,009 024 231 68 × 2 = 0 + 0,018 048 463 36;
  • 7) 0,018 048 463 36 × 2 = 0 + 0,036 096 926 72;
  • 8) 0,036 096 926 72 × 2 = 0 + 0,072 193 853 44;
  • 9) 0,072 193 853 44 × 2 = 0 + 0,144 387 706 88;
  • 10) 0,144 387 706 88 × 2 = 0 + 0,288 775 413 76;
  • 11) 0,288 775 413 76 × 2 = 0 + 0,577 550 827 52;
  • 12) 0,577 550 827 52 × 2 = 1 + 0,155 101 655 04;
  • 13) 0,155 101 655 04 × 2 = 0 + 0,310 203 310 08;
  • 14) 0,310 203 310 08 × 2 = 0 + 0,620 406 620 16;
  • 15) 0,620 406 620 16 × 2 = 1 + 0,240 813 240 32;
  • 16) 0,240 813 240 32 × 2 = 0 + 0,481 626 480 64;
  • 17) 0,481 626 480 64 × 2 = 0 + 0,963 252 961 28;
  • 18) 0,963 252 961 28 × 2 = 1 + 0,926 505 922 56;
  • 19) 0,926 505 922 56 × 2 = 1 + 0,853 011 845 12;
  • 20) 0,853 011 845 12 × 2 = 1 + 0,706 023 690 24;
  • 21) 0,706 023 690 24 × 2 = 1 + 0,412 047 380 48;
  • 22) 0,412 047 380 48 × 2 = 0 + 0,824 094 760 96;
  • 23) 0,824 094 760 96 × 2 = 1 + 0,648 189 521 92;
  • 24) 0,648 189 521 92 × 2 = 1 + 0,296 379 043 84;
  • 25) 0,296 379 043 84 × 2 = 0 + 0,592 758 087 68;
  • 26) 0,592 758 087 68 × 2 = 1 + 0,185 516 175 36;
  • 27) 0,185 516 175 36 × 2 = 0 + 0,371 032 350 72;
  • 28) 0,371 032 350 72 × 2 = 0 + 0,742 064 701 44;
  • 29) 0,742 064 701 44 × 2 = 1 + 0,484 129 402 88;
  • 30) 0,484 129 402 88 × 2 = 0 + 0,968 258 805 76;
  • 31) 0,968 258 805 76 × 2 = 1 + 0,936 517 611 52;
  • 32) 0,936 517 611 52 × 2 = 1 + 0,873 035 223 04;
  • 33) 0,873 035 223 04 × 2 = 1 + 0,746 070 446 08;
  • 34) 0,746 070 446 08 × 2 = 1 + 0,492 140 892 16;
  • 35) 0,492 140 892 16 × 2 = 0 + 0,984 281 784 32;
  • 36) 0,984 281 784 32 × 2 = 1 + 0,968 563 568 64;
  • 37) 0,968 563 568 64 × 2 = 1 + 0,937 127 137 28;
  • 38) 0,937 127 137 28 × 2 = 1 + 0,874 254 274 56;
  • 39) 0,874 254 274 56 × 2 = 1 + 0,748 508 549 12;
  • 40) 0,748 508 549 12 × 2 = 1 + 0,497 017 098 24;
  • 41) 0,497 017 098 24 × 2 = 0 + 0,994 034 196 48;
  • 42) 0,994 034 196 48 × 2 = 1 + 0,988 068 392 96;
  • 43) 0,988 068 392 96 × 2 = 1 + 0,976 136 785 92;
  • 44) 0,976 136 785 92 × 2 = 1 + 0,952 273 571 84;
  • 45) 0,952 273 571 84 × 2 = 1 + 0,904 547 143 68;
  • 46) 0,904 547 143 68 × 2 = 1 + 0,809 094 287 36;
  • 47) 0,809 094 287 36 × 2 = 1 + 0,618 188 574 72;
  • 48) 0,618 188 574 72 × 2 = 1 + 0,236 377 149 44;
  • 49) 0,236 377 149 44 × 2 = 0 + 0,472 754 298 88;
  • 50) 0,472 754 298 88 × 2 = 0 + 0,945 508 597 76;
  • 51) 0,945 508 597 76 × 2 = 1 + 0,891 017 195 52;
  • 52) 0,891 017 195 52 × 2 = 1 + 0,782 034 391 04;
  • 53) 0,782 034 391 04 × 2 = 1 + 0,564 068 782 08;
  • 54) 0,564 068 782 08 × 2 = 1 + 0,128 137 564 16;
  • 55) 0,128 137 564 16 × 2 = 0 + 0,256 275 128 32;
  • 56) 0,256 275 128 32 × 2 = 0 + 0,512 550 256 64;
  • 57) 0,512 550 256 64 × 2 = 1 + 0,025 100 513 28;
  • 58) 0,025 100 513 28 × 2 = 0 + 0,050 201 026 56;
  • 59) 0,050 201 026 56 × 2 = 0 + 0,100 402 053 12;
  • 60) 0,100 402 053 12 × 2 = 0 + 0,200 804 106 24;
  • 61) 0,200 804 106 24 × 2 = 0 + 0,401 608 212 48;
  • 62) 0,401 608 212 48 × 2 = 0 + 0,803 216 424 96;
  • 63) 0,803 216 424 96 × 2 = 1 + 0,606 432 849 92;
  • 64) 0,606 432 849 92 × 2 = 1 + 0,212 865 699 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011 =

0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011


Numărul zecimal -0,000 282 007 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1011 1101 1111 0111 1111 0011 1100 1000 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 02 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100