-0,000 282 007 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 37| = 0,000 282 007 37


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 37 × 2 = 0 + 0,000 564 014 74;
  • 2) 0,000 564 014 74 × 2 = 0 + 0,001 128 029 48;
  • 3) 0,001 128 029 48 × 2 = 0 + 0,002 256 058 96;
  • 4) 0,002 256 058 96 × 2 = 0 + 0,004 512 117 92;
  • 5) 0,004 512 117 92 × 2 = 0 + 0,009 024 235 84;
  • 6) 0,009 024 235 84 × 2 = 0 + 0,018 048 471 68;
  • 7) 0,018 048 471 68 × 2 = 0 + 0,036 096 943 36;
  • 8) 0,036 096 943 36 × 2 = 0 + 0,072 193 886 72;
  • 9) 0,072 193 886 72 × 2 = 0 + 0,144 387 773 44;
  • 10) 0,144 387 773 44 × 2 = 0 + 0,288 775 546 88;
  • 11) 0,288 775 546 88 × 2 = 0 + 0,577 551 093 76;
  • 12) 0,577 551 093 76 × 2 = 1 + 0,155 102 187 52;
  • 13) 0,155 102 187 52 × 2 = 0 + 0,310 204 375 04;
  • 14) 0,310 204 375 04 × 2 = 0 + 0,620 408 750 08;
  • 15) 0,620 408 750 08 × 2 = 1 + 0,240 817 500 16;
  • 16) 0,240 817 500 16 × 2 = 0 + 0,481 635 000 32;
  • 17) 0,481 635 000 32 × 2 = 0 + 0,963 270 000 64;
  • 18) 0,963 270 000 64 × 2 = 1 + 0,926 540 001 28;
  • 19) 0,926 540 001 28 × 2 = 1 + 0,853 080 002 56;
  • 20) 0,853 080 002 56 × 2 = 1 + 0,706 160 005 12;
  • 21) 0,706 160 005 12 × 2 = 1 + 0,412 320 010 24;
  • 22) 0,412 320 010 24 × 2 = 0 + 0,824 640 020 48;
  • 23) 0,824 640 020 48 × 2 = 1 + 0,649 280 040 96;
  • 24) 0,649 280 040 96 × 2 = 1 + 0,298 560 081 92;
  • 25) 0,298 560 081 92 × 2 = 0 + 0,597 120 163 84;
  • 26) 0,597 120 163 84 × 2 = 1 + 0,194 240 327 68;
  • 27) 0,194 240 327 68 × 2 = 0 + 0,388 480 655 36;
  • 28) 0,388 480 655 36 × 2 = 0 + 0,776 961 310 72;
  • 29) 0,776 961 310 72 × 2 = 1 + 0,553 922 621 44;
  • 30) 0,553 922 621 44 × 2 = 1 + 0,107 845 242 88;
  • 31) 0,107 845 242 88 × 2 = 0 + 0,215 690 485 76;
  • 32) 0,215 690 485 76 × 2 = 0 + 0,431 380 971 52;
  • 33) 0,431 380 971 52 × 2 = 0 + 0,862 761 943 04;
  • 34) 0,862 761 943 04 × 2 = 1 + 0,725 523 886 08;
  • 35) 0,725 523 886 08 × 2 = 1 + 0,451 047 772 16;
  • 36) 0,451 047 772 16 × 2 = 0 + 0,902 095 544 32;
  • 37) 0,902 095 544 32 × 2 = 1 + 0,804 191 088 64;
  • 38) 0,804 191 088 64 × 2 = 1 + 0,608 382 177 28;
  • 39) 0,608 382 177 28 × 2 = 1 + 0,216 764 354 56;
  • 40) 0,216 764 354 56 × 2 = 0 + 0,433 528 709 12;
  • 41) 0,433 528 709 12 × 2 = 0 + 0,867 057 418 24;
  • 42) 0,867 057 418 24 × 2 = 1 + 0,734 114 836 48;
  • 43) 0,734 114 836 48 × 2 = 1 + 0,468 229 672 96;
  • 44) 0,468 229 672 96 × 2 = 0 + 0,936 459 345 92;
  • 45) 0,936 459 345 92 × 2 = 1 + 0,872 918 691 84;
  • 46) 0,872 918 691 84 × 2 = 1 + 0,745 837 383 68;
  • 47) 0,745 837 383 68 × 2 = 1 + 0,491 674 767 36;
  • 48) 0,491 674 767 36 × 2 = 0 + 0,983 349 534 72;
  • 49) 0,983 349 534 72 × 2 = 1 + 0,966 699 069 44;
  • 50) 0,966 699 069 44 × 2 = 1 + 0,933 398 138 88;
  • 51) 0,933 398 138 88 × 2 = 1 + 0,866 796 277 76;
  • 52) 0,866 796 277 76 × 2 = 1 + 0,733 592 555 52;
  • 53) 0,733 592 555 52 × 2 = 1 + 0,467 185 111 04;
  • 54) 0,467 185 111 04 × 2 = 0 + 0,934 370 222 08;
  • 55) 0,934 370 222 08 × 2 = 1 + 0,868 740 444 16;
  • 56) 0,868 740 444 16 × 2 = 1 + 0,737 480 888 32;
  • 57) 0,737 480 888 32 × 2 = 1 + 0,474 961 776 64;
  • 58) 0,474 961 776 64 × 2 = 0 + 0,949 923 553 28;
  • 59) 0,949 923 553 28 × 2 = 1 + 0,899 847 106 56;
  • 60) 0,899 847 106 56 × 2 = 1 + 0,799 694 213 12;
  • 61) 0,799 694 213 12 × 2 = 1 + 0,599 388 426 24;
  • 62) 0,599 388 426 24 × 2 = 1 + 0,198 776 852 48;
  • 63) 0,198 776 852 48 × 2 = 0 + 0,397 553 704 96;
  • 64) 0,397 553 704 96 × 2 = 0 + 0,795 107 409 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100 =

0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100


Numărul zecimal -0,000 282 007 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1100 0110 1110 0110 1110 1111 1011 1011 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100