-0,000 282 007 46 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 46(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 46(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 46| = 0,000 282 007 46


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 46.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 46 × 2 = 0 + 0,000 564 014 92;
  • 2) 0,000 564 014 92 × 2 = 0 + 0,001 128 029 84;
  • 3) 0,001 128 029 84 × 2 = 0 + 0,002 256 059 68;
  • 4) 0,002 256 059 68 × 2 = 0 + 0,004 512 119 36;
  • 5) 0,004 512 119 36 × 2 = 0 + 0,009 024 238 72;
  • 6) 0,009 024 238 72 × 2 = 0 + 0,018 048 477 44;
  • 7) 0,018 048 477 44 × 2 = 0 + 0,036 096 954 88;
  • 8) 0,036 096 954 88 × 2 = 0 + 0,072 193 909 76;
  • 9) 0,072 193 909 76 × 2 = 0 + 0,144 387 819 52;
  • 10) 0,144 387 819 52 × 2 = 0 + 0,288 775 639 04;
  • 11) 0,288 775 639 04 × 2 = 0 + 0,577 551 278 08;
  • 12) 0,577 551 278 08 × 2 = 1 + 0,155 102 556 16;
  • 13) 0,155 102 556 16 × 2 = 0 + 0,310 205 112 32;
  • 14) 0,310 205 112 32 × 2 = 0 + 0,620 410 224 64;
  • 15) 0,620 410 224 64 × 2 = 1 + 0,240 820 449 28;
  • 16) 0,240 820 449 28 × 2 = 0 + 0,481 640 898 56;
  • 17) 0,481 640 898 56 × 2 = 0 + 0,963 281 797 12;
  • 18) 0,963 281 797 12 × 2 = 1 + 0,926 563 594 24;
  • 19) 0,926 563 594 24 × 2 = 1 + 0,853 127 188 48;
  • 20) 0,853 127 188 48 × 2 = 1 + 0,706 254 376 96;
  • 21) 0,706 254 376 96 × 2 = 1 + 0,412 508 753 92;
  • 22) 0,412 508 753 92 × 2 = 0 + 0,825 017 507 84;
  • 23) 0,825 017 507 84 × 2 = 1 + 0,650 035 015 68;
  • 24) 0,650 035 015 68 × 2 = 1 + 0,300 070 031 36;
  • 25) 0,300 070 031 36 × 2 = 0 + 0,600 140 062 72;
  • 26) 0,600 140 062 72 × 2 = 1 + 0,200 280 125 44;
  • 27) 0,200 280 125 44 × 2 = 0 + 0,400 560 250 88;
  • 28) 0,400 560 250 88 × 2 = 0 + 0,801 120 501 76;
  • 29) 0,801 120 501 76 × 2 = 1 + 0,602 241 003 52;
  • 30) 0,602 241 003 52 × 2 = 1 + 0,204 482 007 04;
  • 31) 0,204 482 007 04 × 2 = 0 + 0,408 964 014 08;
  • 32) 0,408 964 014 08 × 2 = 0 + 0,817 928 028 16;
  • 33) 0,817 928 028 16 × 2 = 1 + 0,635 856 056 32;
  • 34) 0,635 856 056 32 × 2 = 1 + 0,271 712 112 64;
  • 35) 0,271 712 112 64 × 2 = 0 + 0,543 424 225 28;
  • 36) 0,543 424 225 28 × 2 = 1 + 0,086 848 450 56;
  • 37) 0,086 848 450 56 × 2 = 0 + 0,173 696 901 12;
  • 38) 0,173 696 901 12 × 2 = 0 + 0,347 393 802 24;
  • 39) 0,347 393 802 24 × 2 = 0 + 0,694 787 604 48;
  • 40) 0,694 787 604 48 × 2 = 1 + 0,389 575 208 96;
  • 41) 0,389 575 208 96 × 2 = 0 + 0,779 150 417 92;
  • 42) 0,779 150 417 92 × 2 = 1 + 0,558 300 835 84;
  • 43) 0,558 300 835 84 × 2 = 1 + 0,116 601 671 68;
  • 44) 0,116 601 671 68 × 2 = 0 + 0,233 203 343 36;
  • 45) 0,233 203 343 36 × 2 = 0 + 0,466 406 686 72;
  • 46) 0,466 406 686 72 × 2 = 0 + 0,932 813 373 44;
  • 47) 0,932 813 373 44 × 2 = 1 + 0,865 626 746 88;
  • 48) 0,865 626 746 88 × 2 = 1 + 0,731 253 493 76;
  • 49) 0,731 253 493 76 × 2 = 1 + 0,462 506 987 52;
  • 50) 0,462 506 987 52 × 2 = 0 + 0,925 013 975 04;
  • 51) 0,925 013 975 04 × 2 = 1 + 0,850 027 950 08;
  • 52) 0,850 027 950 08 × 2 = 1 + 0,700 055 900 16;
  • 53) 0,700 055 900 16 × 2 = 1 + 0,400 111 800 32;
  • 54) 0,400 111 800 32 × 2 = 0 + 0,800 223 600 64;
  • 55) 0,800 223 600 64 × 2 = 1 + 0,600 447 201 28;
  • 56) 0,600 447 201 28 × 2 = 1 + 0,200 894 402 56;
  • 57) 0,200 894 402 56 × 2 = 0 + 0,401 788 805 12;
  • 58) 0,401 788 805 12 × 2 = 0 + 0,803 577 610 24;
  • 59) 0,803 577 610 24 × 2 = 1 + 0,607 155 220 48;
  • 60) 0,607 155 220 48 × 2 = 1 + 0,214 310 440 96;
  • 61) 0,214 310 440 96 × 2 = 0 + 0,428 620 881 92;
  • 62) 0,428 620 881 92 × 2 = 0 + 0,857 241 763 84;
  • 63) 0,857 241 763 84 × 2 = 1 + 0,714 483 527 68;
  • 64) 0,714 483 527 68 × 2 = 1 + 0,428 967 055 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011 =

0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011


Numărul zecimal -0,000 282 007 46 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1100 1101 0001 0110 0011 1011 1011 0011 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100