-0,000 282 007 58 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 58(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 58(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 58| = 0,000 282 007 58


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 58.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 58 × 2 = 0 + 0,000 564 015 16;
  • 2) 0,000 564 015 16 × 2 = 0 + 0,001 128 030 32;
  • 3) 0,001 128 030 32 × 2 = 0 + 0,002 256 060 64;
  • 4) 0,002 256 060 64 × 2 = 0 + 0,004 512 121 28;
  • 5) 0,004 512 121 28 × 2 = 0 + 0,009 024 242 56;
  • 6) 0,009 024 242 56 × 2 = 0 + 0,018 048 485 12;
  • 7) 0,018 048 485 12 × 2 = 0 + 0,036 096 970 24;
  • 8) 0,036 096 970 24 × 2 = 0 + 0,072 193 940 48;
  • 9) 0,072 193 940 48 × 2 = 0 + 0,144 387 880 96;
  • 10) 0,144 387 880 96 × 2 = 0 + 0,288 775 761 92;
  • 11) 0,288 775 761 92 × 2 = 0 + 0,577 551 523 84;
  • 12) 0,577 551 523 84 × 2 = 1 + 0,155 103 047 68;
  • 13) 0,155 103 047 68 × 2 = 0 + 0,310 206 095 36;
  • 14) 0,310 206 095 36 × 2 = 0 + 0,620 412 190 72;
  • 15) 0,620 412 190 72 × 2 = 1 + 0,240 824 381 44;
  • 16) 0,240 824 381 44 × 2 = 0 + 0,481 648 762 88;
  • 17) 0,481 648 762 88 × 2 = 0 + 0,963 297 525 76;
  • 18) 0,963 297 525 76 × 2 = 1 + 0,926 595 051 52;
  • 19) 0,926 595 051 52 × 2 = 1 + 0,853 190 103 04;
  • 20) 0,853 190 103 04 × 2 = 1 + 0,706 380 206 08;
  • 21) 0,706 380 206 08 × 2 = 1 + 0,412 760 412 16;
  • 22) 0,412 760 412 16 × 2 = 0 + 0,825 520 824 32;
  • 23) 0,825 520 824 32 × 2 = 1 + 0,651 041 648 64;
  • 24) 0,651 041 648 64 × 2 = 1 + 0,302 083 297 28;
  • 25) 0,302 083 297 28 × 2 = 0 + 0,604 166 594 56;
  • 26) 0,604 166 594 56 × 2 = 1 + 0,208 333 189 12;
  • 27) 0,208 333 189 12 × 2 = 0 + 0,416 666 378 24;
  • 28) 0,416 666 378 24 × 2 = 0 + 0,833 332 756 48;
  • 29) 0,833 332 756 48 × 2 = 1 + 0,666 665 512 96;
  • 30) 0,666 665 512 96 × 2 = 1 + 0,333 331 025 92;
  • 31) 0,333 331 025 92 × 2 = 0 + 0,666 662 051 84;
  • 32) 0,666 662 051 84 × 2 = 1 + 0,333 324 103 68;
  • 33) 0,333 324 103 68 × 2 = 0 + 0,666 648 207 36;
  • 34) 0,666 648 207 36 × 2 = 1 + 0,333 296 414 72;
  • 35) 0,333 296 414 72 × 2 = 0 + 0,666 592 829 44;
  • 36) 0,666 592 829 44 × 2 = 1 + 0,333 185 658 88;
  • 37) 0,333 185 658 88 × 2 = 0 + 0,666 371 317 76;
  • 38) 0,666 371 317 76 × 2 = 1 + 0,332 742 635 52;
  • 39) 0,332 742 635 52 × 2 = 0 + 0,665 485 271 04;
  • 40) 0,665 485 271 04 × 2 = 1 + 0,330 970 542 08;
  • 41) 0,330 970 542 08 × 2 = 0 + 0,661 941 084 16;
  • 42) 0,661 941 084 16 × 2 = 1 + 0,323 882 168 32;
  • 43) 0,323 882 168 32 × 2 = 0 + 0,647 764 336 64;
  • 44) 0,647 764 336 64 × 2 = 1 + 0,295 528 673 28;
  • 45) 0,295 528 673 28 × 2 = 0 + 0,591 057 346 56;
  • 46) 0,591 057 346 56 × 2 = 1 + 0,182 114 693 12;
  • 47) 0,182 114 693 12 × 2 = 0 + 0,364 229 386 24;
  • 48) 0,364 229 386 24 × 2 = 0 + 0,728 458 772 48;
  • 49) 0,728 458 772 48 × 2 = 1 + 0,456 917 544 96;
  • 50) 0,456 917 544 96 × 2 = 0 + 0,913 835 089 92;
  • 51) 0,913 835 089 92 × 2 = 1 + 0,827 670 179 84;
  • 52) 0,827 670 179 84 × 2 = 1 + 0,655 340 359 68;
  • 53) 0,655 340 359 68 × 2 = 1 + 0,310 680 719 36;
  • 54) 0,310 680 719 36 × 2 = 0 + 0,621 361 438 72;
  • 55) 0,621 361 438 72 × 2 = 1 + 0,242 722 877 44;
  • 56) 0,242 722 877 44 × 2 = 0 + 0,485 445 754 88;
  • 57) 0,485 445 754 88 × 2 = 0 + 0,970 891 509 76;
  • 58) 0,970 891 509 76 × 2 = 1 + 0,941 783 019 52;
  • 59) 0,941 783 019 52 × 2 = 1 + 0,883 566 039 04;
  • 60) 0,883 566 039 04 × 2 = 1 + 0,767 132 078 08;
  • 61) 0,767 132 078 08 × 2 = 1 + 0,534 264 156 16;
  • 62) 0,534 264 156 16 × 2 = 1 + 0,068 528 312 32;
  • 63) 0,068 528 312 32 × 2 = 0 + 0,137 056 624 64;
  • 64) 0,137 056 624 64 × 2 = 0 + 0,274 113 249 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100 =

0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100


Numărul zecimal -0,000 282 007 58 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1101 0101 0101 0101 0100 1011 1010 0111 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 05 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100