-0,000 282 007 63 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 63(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 63(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 63| = 0,000 282 007 63


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 63.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 63 × 2 = 0 + 0,000 564 015 26;
  • 2) 0,000 564 015 26 × 2 = 0 + 0,001 128 030 52;
  • 3) 0,001 128 030 52 × 2 = 0 + 0,002 256 061 04;
  • 4) 0,002 256 061 04 × 2 = 0 + 0,004 512 122 08;
  • 5) 0,004 512 122 08 × 2 = 0 + 0,009 024 244 16;
  • 6) 0,009 024 244 16 × 2 = 0 + 0,018 048 488 32;
  • 7) 0,018 048 488 32 × 2 = 0 + 0,036 096 976 64;
  • 8) 0,036 096 976 64 × 2 = 0 + 0,072 193 953 28;
  • 9) 0,072 193 953 28 × 2 = 0 + 0,144 387 906 56;
  • 10) 0,144 387 906 56 × 2 = 0 + 0,288 775 813 12;
  • 11) 0,288 775 813 12 × 2 = 0 + 0,577 551 626 24;
  • 12) 0,577 551 626 24 × 2 = 1 + 0,155 103 252 48;
  • 13) 0,155 103 252 48 × 2 = 0 + 0,310 206 504 96;
  • 14) 0,310 206 504 96 × 2 = 0 + 0,620 413 009 92;
  • 15) 0,620 413 009 92 × 2 = 1 + 0,240 826 019 84;
  • 16) 0,240 826 019 84 × 2 = 0 + 0,481 652 039 68;
  • 17) 0,481 652 039 68 × 2 = 0 + 0,963 304 079 36;
  • 18) 0,963 304 079 36 × 2 = 1 + 0,926 608 158 72;
  • 19) 0,926 608 158 72 × 2 = 1 + 0,853 216 317 44;
  • 20) 0,853 216 317 44 × 2 = 1 + 0,706 432 634 88;
  • 21) 0,706 432 634 88 × 2 = 1 + 0,412 865 269 76;
  • 22) 0,412 865 269 76 × 2 = 0 + 0,825 730 539 52;
  • 23) 0,825 730 539 52 × 2 = 1 + 0,651 461 079 04;
  • 24) 0,651 461 079 04 × 2 = 1 + 0,302 922 158 08;
  • 25) 0,302 922 158 08 × 2 = 0 + 0,605 844 316 16;
  • 26) 0,605 844 316 16 × 2 = 1 + 0,211 688 632 32;
  • 27) 0,211 688 632 32 × 2 = 0 + 0,423 377 264 64;
  • 28) 0,423 377 264 64 × 2 = 0 + 0,846 754 529 28;
  • 29) 0,846 754 529 28 × 2 = 1 + 0,693 509 058 56;
  • 30) 0,693 509 058 56 × 2 = 1 + 0,387 018 117 12;
  • 31) 0,387 018 117 12 × 2 = 0 + 0,774 036 234 24;
  • 32) 0,774 036 234 24 × 2 = 1 + 0,548 072 468 48;
  • 33) 0,548 072 468 48 × 2 = 1 + 0,096 144 936 96;
  • 34) 0,096 144 936 96 × 2 = 0 + 0,192 289 873 92;
  • 35) 0,192 289 873 92 × 2 = 0 + 0,384 579 747 84;
  • 36) 0,384 579 747 84 × 2 = 0 + 0,769 159 495 68;
  • 37) 0,769 159 495 68 × 2 = 1 + 0,538 318 991 36;
  • 38) 0,538 318 991 36 × 2 = 1 + 0,076 637 982 72;
  • 39) 0,076 637 982 72 × 2 = 0 + 0,153 275 965 44;
  • 40) 0,153 275 965 44 × 2 = 0 + 0,306 551 930 88;
  • 41) 0,306 551 930 88 × 2 = 0 + 0,613 103 861 76;
  • 42) 0,613 103 861 76 × 2 = 1 + 0,226 207 723 52;
  • 43) 0,226 207 723 52 × 2 = 0 + 0,452 415 447 04;
  • 44) 0,452 415 447 04 × 2 = 0 + 0,904 830 894 08;
  • 45) 0,904 830 894 08 × 2 = 1 + 0,809 661 788 16;
  • 46) 0,809 661 788 16 × 2 = 1 + 0,619 323 576 32;
  • 47) 0,619 323 576 32 × 2 = 1 + 0,238 647 152 64;
  • 48) 0,238 647 152 64 × 2 = 0 + 0,477 294 305 28;
  • 49) 0,477 294 305 28 × 2 = 0 + 0,954 588 610 56;
  • 50) 0,954 588 610 56 × 2 = 1 + 0,909 177 221 12;
  • 51) 0,909 177 221 12 × 2 = 1 + 0,818 354 442 24;
  • 52) 0,818 354 442 24 × 2 = 1 + 0,636 708 884 48;
  • 53) 0,636 708 884 48 × 2 = 1 + 0,273 417 768 96;
  • 54) 0,273 417 768 96 × 2 = 0 + 0,546 835 537 92;
  • 55) 0,546 835 537 92 × 2 = 1 + 0,093 671 075 84;
  • 56) 0,093 671 075 84 × 2 = 0 + 0,187 342 151 68;
  • 57) 0,187 342 151 68 × 2 = 0 + 0,374 684 303 36;
  • 58) 0,374 684 303 36 × 2 = 0 + 0,749 368 606 72;
  • 59) 0,749 368 606 72 × 2 = 1 + 0,498 737 213 44;
  • 60) 0,498 737 213 44 × 2 = 0 + 0,997 474 426 88;
  • 61) 0,997 474 426 88 × 2 = 1 + 0,994 948 853 76;
  • 62) 0,994 948 853 76 × 2 = 1 + 0,989 897 707 52;
  • 63) 0,989 897 707 52 × 2 = 1 + 0,979 795 415 04;
  • 64) 0,979 795 415 04 × 2 = 1 + 0,959 590 830 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 63(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 63(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 63(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111 =

0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 007 63 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1101 1000 1100 0100 1110 0111 1010 0010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 76 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100