-0,000 282 007 76 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 76(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 76(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 76| = 0,000 282 007 76


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 76.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 76 × 2 = 0 + 0,000 564 015 52;
  • 2) 0,000 564 015 52 × 2 = 0 + 0,001 128 031 04;
  • 3) 0,001 128 031 04 × 2 = 0 + 0,002 256 062 08;
  • 4) 0,002 256 062 08 × 2 = 0 + 0,004 512 124 16;
  • 5) 0,004 512 124 16 × 2 = 0 + 0,009 024 248 32;
  • 6) 0,009 024 248 32 × 2 = 0 + 0,018 048 496 64;
  • 7) 0,018 048 496 64 × 2 = 0 + 0,036 096 993 28;
  • 8) 0,036 096 993 28 × 2 = 0 + 0,072 193 986 56;
  • 9) 0,072 193 986 56 × 2 = 0 + 0,144 387 973 12;
  • 10) 0,144 387 973 12 × 2 = 0 + 0,288 775 946 24;
  • 11) 0,288 775 946 24 × 2 = 0 + 0,577 551 892 48;
  • 12) 0,577 551 892 48 × 2 = 1 + 0,155 103 784 96;
  • 13) 0,155 103 784 96 × 2 = 0 + 0,310 207 569 92;
  • 14) 0,310 207 569 92 × 2 = 0 + 0,620 415 139 84;
  • 15) 0,620 415 139 84 × 2 = 1 + 0,240 830 279 68;
  • 16) 0,240 830 279 68 × 2 = 0 + 0,481 660 559 36;
  • 17) 0,481 660 559 36 × 2 = 0 + 0,963 321 118 72;
  • 18) 0,963 321 118 72 × 2 = 1 + 0,926 642 237 44;
  • 19) 0,926 642 237 44 × 2 = 1 + 0,853 284 474 88;
  • 20) 0,853 284 474 88 × 2 = 1 + 0,706 568 949 76;
  • 21) 0,706 568 949 76 × 2 = 1 + 0,413 137 899 52;
  • 22) 0,413 137 899 52 × 2 = 0 + 0,826 275 799 04;
  • 23) 0,826 275 799 04 × 2 = 1 + 0,652 551 598 08;
  • 24) 0,652 551 598 08 × 2 = 1 + 0,305 103 196 16;
  • 25) 0,305 103 196 16 × 2 = 0 + 0,610 206 392 32;
  • 26) 0,610 206 392 32 × 2 = 1 + 0,220 412 784 64;
  • 27) 0,220 412 784 64 × 2 = 0 + 0,440 825 569 28;
  • 28) 0,440 825 569 28 × 2 = 0 + 0,881 651 138 56;
  • 29) 0,881 651 138 56 × 2 = 1 + 0,763 302 277 12;
  • 30) 0,763 302 277 12 × 2 = 1 + 0,526 604 554 24;
  • 31) 0,526 604 554 24 × 2 = 1 + 0,053 209 108 48;
  • 32) 0,053 209 108 48 × 2 = 0 + 0,106 418 216 96;
  • 33) 0,106 418 216 96 × 2 = 0 + 0,212 836 433 92;
  • 34) 0,212 836 433 92 × 2 = 0 + 0,425 672 867 84;
  • 35) 0,425 672 867 84 × 2 = 0 + 0,851 345 735 68;
  • 36) 0,851 345 735 68 × 2 = 1 + 0,702 691 471 36;
  • 37) 0,702 691 471 36 × 2 = 1 + 0,405 382 942 72;
  • 38) 0,405 382 942 72 × 2 = 0 + 0,810 765 885 44;
  • 39) 0,810 765 885 44 × 2 = 1 + 0,621 531 770 88;
  • 40) 0,621 531 770 88 × 2 = 1 + 0,243 063 541 76;
  • 41) 0,243 063 541 76 × 2 = 0 + 0,486 127 083 52;
  • 42) 0,486 127 083 52 × 2 = 0 + 0,972 254 167 04;
  • 43) 0,972 254 167 04 × 2 = 1 + 0,944 508 334 08;
  • 44) 0,944 508 334 08 × 2 = 1 + 0,889 016 668 16;
  • 45) 0,889 016 668 16 × 2 = 1 + 0,778 033 336 32;
  • 46) 0,778 033 336 32 × 2 = 1 + 0,556 066 672 64;
  • 47) 0,556 066 672 64 × 2 = 1 + 0,112 133 345 28;
  • 48) 0,112 133 345 28 × 2 = 0 + 0,224 266 690 56;
  • 49) 0,224 266 690 56 × 2 = 0 + 0,448 533 381 12;
  • 50) 0,448 533 381 12 × 2 = 0 + 0,897 066 762 24;
  • 51) 0,897 066 762 24 × 2 = 1 + 0,794 133 524 48;
  • 52) 0,794 133 524 48 × 2 = 1 + 0,588 267 048 96;
  • 53) 0,588 267 048 96 × 2 = 1 + 0,176 534 097 92;
  • 54) 0,176 534 097 92 × 2 = 0 + 0,353 068 195 84;
  • 55) 0,353 068 195 84 × 2 = 0 + 0,706 136 391 68;
  • 56) 0,706 136 391 68 × 2 = 1 + 0,412 272 783 36;
  • 57) 0,412 272 783 36 × 2 = 0 + 0,824 545 566 72;
  • 58) 0,824 545 566 72 × 2 = 1 + 0,649 091 133 44;
  • 59) 0,649 091 133 44 × 2 = 1 + 0,298 182 266 88;
  • 60) 0,298 182 266 88 × 2 = 0 + 0,596 364 533 76;
  • 61) 0,596 364 533 76 × 2 = 1 + 0,192 729 067 52;
  • 62) 0,192 729 067 52 × 2 = 0 + 0,385 458 135 04;
  • 63) 0,385 458 135 04 × 2 = 0 + 0,770 916 270 08;
  • 64) 0,770 916 270 08 × 2 = 1 + 0,541 832 540 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001 =

0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001


Numărul zecimal -0,000 282 007 76 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1110 0001 1011 0011 1110 0011 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 65 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100