-0,000 282 007 98 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 007 98(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 007 98(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 007 98| = 0,000 282 007 98


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 007 98.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 007 98 × 2 = 0 + 0,000 564 015 96;
  • 2) 0,000 564 015 96 × 2 = 0 + 0,001 128 031 92;
  • 3) 0,001 128 031 92 × 2 = 0 + 0,002 256 063 84;
  • 4) 0,002 256 063 84 × 2 = 0 + 0,004 512 127 68;
  • 5) 0,004 512 127 68 × 2 = 0 + 0,009 024 255 36;
  • 6) 0,009 024 255 36 × 2 = 0 + 0,018 048 510 72;
  • 7) 0,018 048 510 72 × 2 = 0 + 0,036 097 021 44;
  • 8) 0,036 097 021 44 × 2 = 0 + 0,072 194 042 88;
  • 9) 0,072 194 042 88 × 2 = 0 + 0,144 388 085 76;
  • 10) 0,144 388 085 76 × 2 = 0 + 0,288 776 171 52;
  • 11) 0,288 776 171 52 × 2 = 0 + 0,577 552 343 04;
  • 12) 0,577 552 343 04 × 2 = 1 + 0,155 104 686 08;
  • 13) 0,155 104 686 08 × 2 = 0 + 0,310 209 372 16;
  • 14) 0,310 209 372 16 × 2 = 0 + 0,620 418 744 32;
  • 15) 0,620 418 744 32 × 2 = 1 + 0,240 837 488 64;
  • 16) 0,240 837 488 64 × 2 = 0 + 0,481 674 977 28;
  • 17) 0,481 674 977 28 × 2 = 0 + 0,963 349 954 56;
  • 18) 0,963 349 954 56 × 2 = 1 + 0,926 699 909 12;
  • 19) 0,926 699 909 12 × 2 = 1 + 0,853 399 818 24;
  • 20) 0,853 399 818 24 × 2 = 1 + 0,706 799 636 48;
  • 21) 0,706 799 636 48 × 2 = 1 + 0,413 599 272 96;
  • 22) 0,413 599 272 96 × 2 = 0 + 0,827 198 545 92;
  • 23) 0,827 198 545 92 × 2 = 1 + 0,654 397 091 84;
  • 24) 0,654 397 091 84 × 2 = 1 + 0,308 794 183 68;
  • 25) 0,308 794 183 68 × 2 = 0 + 0,617 588 367 36;
  • 26) 0,617 588 367 36 × 2 = 1 + 0,235 176 734 72;
  • 27) 0,235 176 734 72 × 2 = 0 + 0,470 353 469 44;
  • 28) 0,470 353 469 44 × 2 = 0 + 0,940 706 938 88;
  • 29) 0,940 706 938 88 × 2 = 1 + 0,881 413 877 76;
  • 30) 0,881 413 877 76 × 2 = 1 + 0,762 827 755 52;
  • 31) 0,762 827 755 52 × 2 = 1 + 0,525 655 511 04;
  • 32) 0,525 655 511 04 × 2 = 1 + 0,051 311 022 08;
  • 33) 0,051 311 022 08 × 2 = 0 + 0,102 622 044 16;
  • 34) 0,102 622 044 16 × 2 = 0 + 0,205 244 088 32;
  • 35) 0,205 244 088 32 × 2 = 0 + 0,410 488 176 64;
  • 36) 0,410 488 176 64 × 2 = 0 + 0,820 976 353 28;
  • 37) 0,820 976 353 28 × 2 = 1 + 0,641 952 706 56;
  • 38) 0,641 952 706 56 × 2 = 1 + 0,283 905 413 12;
  • 39) 0,283 905 413 12 × 2 = 0 + 0,567 810 826 24;
  • 40) 0,567 810 826 24 × 2 = 1 + 0,135 621 652 48;
  • 41) 0,135 621 652 48 × 2 = 0 + 0,271 243 304 96;
  • 42) 0,271 243 304 96 × 2 = 0 + 0,542 486 609 92;
  • 43) 0,542 486 609 92 × 2 = 1 + 0,084 973 219 84;
  • 44) 0,084 973 219 84 × 2 = 0 + 0,169 946 439 68;
  • 45) 0,169 946 439 68 × 2 = 0 + 0,339 892 879 36;
  • 46) 0,339 892 879 36 × 2 = 0 + 0,679 785 758 72;
  • 47) 0,679 785 758 72 × 2 = 1 + 0,359 571 517 44;
  • 48) 0,359 571 517 44 × 2 = 0 + 0,719 143 034 88;
  • 49) 0,719 143 034 88 × 2 = 1 + 0,438 286 069 76;
  • 50) 0,438 286 069 76 × 2 = 0 + 0,876 572 139 52;
  • 51) 0,876 572 139 52 × 2 = 1 + 0,753 144 279 04;
  • 52) 0,753 144 279 04 × 2 = 1 + 0,506 288 558 08;
  • 53) 0,506 288 558 08 × 2 = 1 + 0,012 577 116 16;
  • 54) 0,012 577 116 16 × 2 = 0 + 0,025 154 232 32;
  • 55) 0,025 154 232 32 × 2 = 0 + 0,050 308 464 64;
  • 56) 0,050 308 464 64 × 2 = 0 + 0,100 616 929 28;
  • 57) 0,100 616 929 28 × 2 = 0 + 0,201 233 858 56;
  • 58) 0,201 233 858 56 × 2 = 0 + 0,402 467 717 12;
  • 59) 0,402 467 717 12 × 2 = 0 + 0,804 935 434 24;
  • 60) 0,804 935 434 24 × 2 = 1 + 0,609 870 868 48;
  • 61) 0,609 870 868 48 × 2 = 1 + 0,219 741 736 96;
  • 62) 0,219 741 736 96 × 2 = 0 + 0,439 483 473 92;
  • 63) 0,439 483 473 92 × 2 = 0 + 0,878 966 947 84;
  • 64) 0,878 966 947 84 × 2 = 1 + 0,757 933 895 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 007 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 007 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 007 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001 =

0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 007 98 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 1111 0000 1101 0010 0010 1011 1000 0001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100