-0,000 282 008 33 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 33(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 33(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 33| = 0,000 282 008 33


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 33.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 33 × 2 = 0 + 0,000 564 016 66;
  • 2) 0,000 564 016 66 × 2 = 0 + 0,001 128 033 32;
  • 3) 0,001 128 033 32 × 2 = 0 + 0,002 256 066 64;
  • 4) 0,002 256 066 64 × 2 = 0 + 0,004 512 133 28;
  • 5) 0,004 512 133 28 × 2 = 0 + 0,009 024 266 56;
  • 6) 0,009 024 266 56 × 2 = 0 + 0,018 048 533 12;
  • 7) 0,018 048 533 12 × 2 = 0 + 0,036 097 066 24;
  • 8) 0,036 097 066 24 × 2 = 0 + 0,072 194 132 48;
  • 9) 0,072 194 132 48 × 2 = 0 + 0,144 388 264 96;
  • 10) 0,144 388 264 96 × 2 = 0 + 0,288 776 529 92;
  • 11) 0,288 776 529 92 × 2 = 0 + 0,577 553 059 84;
  • 12) 0,577 553 059 84 × 2 = 1 + 0,155 106 119 68;
  • 13) 0,155 106 119 68 × 2 = 0 + 0,310 212 239 36;
  • 14) 0,310 212 239 36 × 2 = 0 + 0,620 424 478 72;
  • 15) 0,620 424 478 72 × 2 = 1 + 0,240 848 957 44;
  • 16) 0,240 848 957 44 × 2 = 0 + 0,481 697 914 88;
  • 17) 0,481 697 914 88 × 2 = 0 + 0,963 395 829 76;
  • 18) 0,963 395 829 76 × 2 = 1 + 0,926 791 659 52;
  • 19) 0,926 791 659 52 × 2 = 1 + 0,853 583 319 04;
  • 20) 0,853 583 319 04 × 2 = 1 + 0,707 166 638 08;
  • 21) 0,707 166 638 08 × 2 = 1 + 0,414 333 276 16;
  • 22) 0,414 333 276 16 × 2 = 0 + 0,828 666 552 32;
  • 23) 0,828 666 552 32 × 2 = 1 + 0,657 333 104 64;
  • 24) 0,657 333 104 64 × 2 = 1 + 0,314 666 209 28;
  • 25) 0,314 666 209 28 × 2 = 0 + 0,629 332 418 56;
  • 26) 0,629 332 418 56 × 2 = 1 + 0,258 664 837 12;
  • 27) 0,258 664 837 12 × 2 = 0 + 0,517 329 674 24;
  • 28) 0,517 329 674 24 × 2 = 1 + 0,034 659 348 48;
  • 29) 0,034 659 348 48 × 2 = 0 + 0,069 318 696 96;
  • 30) 0,069 318 696 96 × 2 = 0 + 0,138 637 393 92;
  • 31) 0,138 637 393 92 × 2 = 0 + 0,277 274 787 84;
  • 32) 0,277 274 787 84 × 2 = 0 + 0,554 549 575 68;
  • 33) 0,554 549 575 68 × 2 = 1 + 0,109 099 151 36;
  • 34) 0,109 099 151 36 × 2 = 0 + 0,218 198 302 72;
  • 35) 0,218 198 302 72 × 2 = 0 + 0,436 396 605 44;
  • 36) 0,436 396 605 44 × 2 = 0 + 0,872 793 210 88;
  • 37) 0,872 793 210 88 × 2 = 1 + 0,745 586 421 76;
  • 38) 0,745 586 421 76 × 2 = 1 + 0,491 172 843 52;
  • 39) 0,491 172 843 52 × 2 = 0 + 0,982 345 687 04;
  • 40) 0,982 345 687 04 × 2 = 1 + 0,964 691 374 08;
  • 41) 0,964 691 374 08 × 2 = 1 + 0,929 382 748 16;
  • 42) 0,929 382 748 16 × 2 = 1 + 0,858 765 496 32;
  • 43) 0,858 765 496 32 × 2 = 1 + 0,717 530 992 64;
  • 44) 0,717 530 992 64 × 2 = 1 + 0,435 061 985 28;
  • 45) 0,435 061 985 28 × 2 = 0 + 0,870 123 970 56;
  • 46) 0,870 123 970 56 × 2 = 1 + 0,740 247 941 12;
  • 47) 0,740 247 941 12 × 2 = 1 + 0,480 495 882 24;
  • 48) 0,480 495 882 24 × 2 = 0 + 0,960 991 764 48;
  • 49) 0,960 991 764 48 × 2 = 1 + 0,921 983 528 96;
  • 50) 0,921 983 528 96 × 2 = 1 + 0,843 967 057 92;
  • 51) 0,843 967 057 92 × 2 = 1 + 0,687 934 115 84;
  • 52) 0,687 934 115 84 × 2 = 1 + 0,375 868 231 68;
  • 53) 0,375 868 231 68 × 2 = 0 + 0,751 736 463 36;
  • 54) 0,751 736 463 36 × 2 = 1 + 0,503 472 926 72;
  • 55) 0,503 472 926 72 × 2 = 1 + 0,006 945 853 44;
  • 56) 0,006 945 853 44 × 2 = 0 + 0,013 891 706 88;
  • 57) 0,013 891 706 88 × 2 = 0 + 0,027 783 413 76;
  • 58) 0,027 783 413 76 × 2 = 0 + 0,055 566 827 52;
  • 59) 0,055 566 827 52 × 2 = 0 + 0,111 133 655 04;
  • 60) 0,111 133 655 04 × 2 = 0 + 0,222 267 310 08;
  • 61) 0,222 267 310 08 × 2 = 0 + 0,444 534 620 16;
  • 62) 0,444 534 620 16 × 2 = 0 + 0,889 069 240 32;
  • 63) 0,889 069 240 32 × 2 = 1 + 0,778 138 480 64;
  • 64) 0,778 138 480 64 × 2 = 1 + 0,556 276 961 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011 =

0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011


Numărul zecimal -0,000 282 008 33 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0000 1000 1101 1111 0110 1111 0110 0000 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 69 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100