-0,000 282 008 48 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 48(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 48(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 48| = 0,000 282 008 48


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 48.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 48 × 2 = 0 + 0,000 564 016 96;
  • 2) 0,000 564 016 96 × 2 = 0 + 0,001 128 033 92;
  • 3) 0,001 128 033 92 × 2 = 0 + 0,002 256 067 84;
  • 4) 0,002 256 067 84 × 2 = 0 + 0,004 512 135 68;
  • 5) 0,004 512 135 68 × 2 = 0 + 0,009 024 271 36;
  • 6) 0,009 024 271 36 × 2 = 0 + 0,018 048 542 72;
  • 7) 0,018 048 542 72 × 2 = 0 + 0,036 097 085 44;
  • 8) 0,036 097 085 44 × 2 = 0 + 0,072 194 170 88;
  • 9) 0,072 194 170 88 × 2 = 0 + 0,144 388 341 76;
  • 10) 0,144 388 341 76 × 2 = 0 + 0,288 776 683 52;
  • 11) 0,288 776 683 52 × 2 = 0 + 0,577 553 367 04;
  • 12) 0,577 553 367 04 × 2 = 1 + 0,155 106 734 08;
  • 13) 0,155 106 734 08 × 2 = 0 + 0,310 213 468 16;
  • 14) 0,310 213 468 16 × 2 = 0 + 0,620 426 936 32;
  • 15) 0,620 426 936 32 × 2 = 1 + 0,240 853 872 64;
  • 16) 0,240 853 872 64 × 2 = 0 + 0,481 707 745 28;
  • 17) 0,481 707 745 28 × 2 = 0 + 0,963 415 490 56;
  • 18) 0,963 415 490 56 × 2 = 1 + 0,926 830 981 12;
  • 19) 0,926 830 981 12 × 2 = 1 + 0,853 661 962 24;
  • 20) 0,853 661 962 24 × 2 = 1 + 0,707 323 924 48;
  • 21) 0,707 323 924 48 × 2 = 1 + 0,414 647 848 96;
  • 22) 0,414 647 848 96 × 2 = 0 + 0,829 295 697 92;
  • 23) 0,829 295 697 92 × 2 = 1 + 0,658 591 395 84;
  • 24) 0,658 591 395 84 × 2 = 1 + 0,317 182 791 68;
  • 25) 0,317 182 791 68 × 2 = 0 + 0,634 365 583 36;
  • 26) 0,634 365 583 36 × 2 = 1 + 0,268 731 166 72;
  • 27) 0,268 731 166 72 × 2 = 0 + 0,537 462 333 44;
  • 28) 0,537 462 333 44 × 2 = 1 + 0,074 924 666 88;
  • 29) 0,074 924 666 88 × 2 = 0 + 0,149 849 333 76;
  • 30) 0,149 849 333 76 × 2 = 0 + 0,299 698 667 52;
  • 31) 0,299 698 667 52 × 2 = 0 + 0,599 397 335 04;
  • 32) 0,599 397 335 04 × 2 = 1 + 0,198 794 670 08;
  • 33) 0,198 794 670 08 × 2 = 0 + 0,397 589 340 16;
  • 34) 0,397 589 340 16 × 2 = 0 + 0,795 178 680 32;
  • 35) 0,795 178 680 32 × 2 = 1 + 0,590 357 360 64;
  • 36) 0,590 357 360 64 × 2 = 1 + 0,180 714 721 28;
  • 37) 0,180 714 721 28 × 2 = 0 + 0,361 429 442 56;
  • 38) 0,361 429 442 56 × 2 = 0 + 0,722 858 885 12;
  • 39) 0,722 858 885 12 × 2 = 1 + 0,445 717 770 24;
  • 40) 0,445 717 770 24 × 2 = 0 + 0,891 435 540 48;
  • 41) 0,891 435 540 48 × 2 = 1 + 0,782 871 080 96;
  • 42) 0,782 871 080 96 × 2 = 1 + 0,565 742 161 92;
  • 43) 0,565 742 161 92 × 2 = 1 + 0,131 484 323 84;
  • 44) 0,131 484 323 84 × 2 = 0 + 0,262 968 647 68;
  • 45) 0,262 968 647 68 × 2 = 0 + 0,525 937 295 36;
  • 46) 0,525 937 295 36 × 2 = 1 + 0,051 874 590 72;
  • 47) 0,051 874 590 72 × 2 = 0 + 0,103 749 181 44;
  • 48) 0,103 749 181 44 × 2 = 0 + 0,207 498 362 88;
  • 49) 0,207 498 362 88 × 2 = 0 + 0,414 996 725 76;
  • 50) 0,414 996 725 76 × 2 = 0 + 0,829 993 451 52;
  • 51) 0,829 993 451 52 × 2 = 1 + 0,659 986 903 04;
  • 52) 0,659 986 903 04 × 2 = 1 + 0,319 973 806 08;
  • 53) 0,319 973 806 08 × 2 = 0 + 0,639 947 612 16;
  • 54) 0,639 947 612 16 × 2 = 1 + 0,279 895 224 32;
  • 55) 0,279 895 224 32 × 2 = 0 + 0,559 790 448 64;
  • 56) 0,559 790 448 64 × 2 = 1 + 0,119 580 897 28;
  • 57) 0,119 580 897 28 × 2 = 0 + 0,239 161 794 56;
  • 58) 0,239 161 794 56 × 2 = 0 + 0,478 323 589 12;
  • 59) 0,478 323 589 12 × 2 = 0 + 0,956 647 178 24;
  • 60) 0,956 647 178 24 × 2 = 1 + 0,913 294 356 48;
  • 61) 0,913 294 356 48 × 2 = 1 + 0,826 588 712 96;
  • 62) 0,826 588 712 96 × 2 = 1 + 0,653 177 425 92;
  • 63) 0,653 177 425 92 × 2 = 1 + 0,306 354 851 84;
  • 64) 0,306 354 851 84 × 2 = 0 + 0,612 709 703 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 48(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 48(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 48(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110 =

0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 008 48 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0001 0011 0010 1110 0100 0011 0101 0001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 02 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100