-0,000 282 008 67 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 67(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 67(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 67| = 0,000 282 008 67


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 67.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 67 × 2 = 0 + 0,000 564 017 34;
  • 2) 0,000 564 017 34 × 2 = 0 + 0,001 128 034 68;
  • 3) 0,001 128 034 68 × 2 = 0 + 0,002 256 069 36;
  • 4) 0,002 256 069 36 × 2 = 0 + 0,004 512 138 72;
  • 5) 0,004 512 138 72 × 2 = 0 + 0,009 024 277 44;
  • 6) 0,009 024 277 44 × 2 = 0 + 0,018 048 554 88;
  • 7) 0,018 048 554 88 × 2 = 0 + 0,036 097 109 76;
  • 8) 0,036 097 109 76 × 2 = 0 + 0,072 194 219 52;
  • 9) 0,072 194 219 52 × 2 = 0 + 0,144 388 439 04;
  • 10) 0,144 388 439 04 × 2 = 0 + 0,288 776 878 08;
  • 11) 0,288 776 878 08 × 2 = 0 + 0,577 553 756 16;
  • 12) 0,577 553 756 16 × 2 = 1 + 0,155 107 512 32;
  • 13) 0,155 107 512 32 × 2 = 0 + 0,310 215 024 64;
  • 14) 0,310 215 024 64 × 2 = 0 + 0,620 430 049 28;
  • 15) 0,620 430 049 28 × 2 = 1 + 0,240 860 098 56;
  • 16) 0,240 860 098 56 × 2 = 0 + 0,481 720 197 12;
  • 17) 0,481 720 197 12 × 2 = 0 + 0,963 440 394 24;
  • 18) 0,963 440 394 24 × 2 = 1 + 0,926 880 788 48;
  • 19) 0,926 880 788 48 × 2 = 1 + 0,853 761 576 96;
  • 20) 0,853 761 576 96 × 2 = 1 + 0,707 523 153 92;
  • 21) 0,707 523 153 92 × 2 = 1 + 0,415 046 307 84;
  • 22) 0,415 046 307 84 × 2 = 0 + 0,830 092 615 68;
  • 23) 0,830 092 615 68 × 2 = 1 + 0,660 185 231 36;
  • 24) 0,660 185 231 36 × 2 = 1 + 0,320 370 462 72;
  • 25) 0,320 370 462 72 × 2 = 0 + 0,640 740 925 44;
  • 26) 0,640 740 925 44 × 2 = 1 + 0,281 481 850 88;
  • 27) 0,281 481 850 88 × 2 = 0 + 0,562 963 701 76;
  • 28) 0,562 963 701 76 × 2 = 1 + 0,125 927 403 52;
  • 29) 0,125 927 403 52 × 2 = 0 + 0,251 854 807 04;
  • 30) 0,251 854 807 04 × 2 = 0 + 0,503 709 614 08;
  • 31) 0,503 709 614 08 × 2 = 1 + 0,007 419 228 16;
  • 32) 0,007 419 228 16 × 2 = 0 + 0,014 838 456 32;
  • 33) 0,014 838 456 32 × 2 = 0 + 0,029 676 912 64;
  • 34) 0,029 676 912 64 × 2 = 0 + 0,059 353 825 28;
  • 35) 0,059 353 825 28 × 2 = 0 + 0,118 707 650 56;
  • 36) 0,118 707 650 56 × 2 = 0 + 0,237 415 301 12;
  • 37) 0,237 415 301 12 × 2 = 0 + 0,474 830 602 24;
  • 38) 0,474 830 602 24 × 2 = 0 + 0,949 661 204 48;
  • 39) 0,949 661 204 48 × 2 = 1 + 0,899 322 408 96;
  • 40) 0,899 322 408 96 × 2 = 1 + 0,798 644 817 92;
  • 41) 0,798 644 817 92 × 2 = 1 + 0,597 289 635 84;
  • 42) 0,597 289 635 84 × 2 = 1 + 0,194 579 271 68;
  • 43) 0,194 579 271 68 × 2 = 0 + 0,389 158 543 36;
  • 44) 0,389 158 543 36 × 2 = 0 + 0,778 317 086 72;
  • 45) 0,778 317 086 72 × 2 = 1 + 0,556 634 173 44;
  • 46) 0,556 634 173 44 × 2 = 1 + 0,113 268 346 88;
  • 47) 0,113 268 346 88 × 2 = 0 + 0,226 536 693 76;
  • 48) 0,226 536 693 76 × 2 = 0 + 0,453 073 387 52;
  • 49) 0,453 073 387 52 × 2 = 0 + 0,906 146 775 04;
  • 50) 0,906 146 775 04 × 2 = 1 + 0,812 293 550 08;
  • 51) 0,812 293 550 08 × 2 = 1 + 0,624 587 100 16;
  • 52) 0,624 587 100 16 × 2 = 1 + 0,249 174 200 32;
  • 53) 0,249 174 200 32 × 2 = 0 + 0,498 348 400 64;
  • 54) 0,498 348 400 64 × 2 = 0 + 0,996 696 801 28;
  • 55) 0,996 696 801 28 × 2 = 1 + 0,993 393 602 56;
  • 56) 0,993 393 602 56 × 2 = 1 + 0,986 787 205 12;
  • 57) 0,986 787 205 12 × 2 = 1 + 0,973 574 410 24;
  • 58) 0,973 574 410 24 × 2 = 1 + 0,947 148 820 48;
  • 59) 0,947 148 820 48 × 2 = 1 + 0,894 297 640 96;
  • 60) 0,894 297 640 96 × 2 = 1 + 0,788 595 281 92;
  • 61) 0,788 595 281 92 × 2 = 1 + 0,577 190 563 84;
  • 62) 0,577 190 563 84 × 2 = 1 + 0,154 381 127 68;
  • 63) 0,154 381 127 68 × 2 = 0 + 0,308 762 255 36;
  • 64) 0,308 762 255 36 × 2 = 0 + 0,617 524 510 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100 =

0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100


Numărul zecimal -0,000 282 008 67 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0010 0000 0011 1100 1100 0111 0011 1111 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100