-0,000 282 008 72 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 72(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 72(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 72| = 0,000 282 008 72


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 72.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 72 × 2 = 0 + 0,000 564 017 44;
  • 2) 0,000 564 017 44 × 2 = 0 + 0,001 128 034 88;
  • 3) 0,001 128 034 88 × 2 = 0 + 0,002 256 069 76;
  • 4) 0,002 256 069 76 × 2 = 0 + 0,004 512 139 52;
  • 5) 0,004 512 139 52 × 2 = 0 + 0,009 024 279 04;
  • 6) 0,009 024 279 04 × 2 = 0 + 0,018 048 558 08;
  • 7) 0,018 048 558 08 × 2 = 0 + 0,036 097 116 16;
  • 8) 0,036 097 116 16 × 2 = 0 + 0,072 194 232 32;
  • 9) 0,072 194 232 32 × 2 = 0 + 0,144 388 464 64;
  • 10) 0,144 388 464 64 × 2 = 0 + 0,288 776 929 28;
  • 11) 0,288 776 929 28 × 2 = 0 + 0,577 553 858 56;
  • 12) 0,577 553 858 56 × 2 = 1 + 0,155 107 717 12;
  • 13) 0,155 107 717 12 × 2 = 0 + 0,310 215 434 24;
  • 14) 0,310 215 434 24 × 2 = 0 + 0,620 430 868 48;
  • 15) 0,620 430 868 48 × 2 = 1 + 0,240 861 736 96;
  • 16) 0,240 861 736 96 × 2 = 0 + 0,481 723 473 92;
  • 17) 0,481 723 473 92 × 2 = 0 + 0,963 446 947 84;
  • 18) 0,963 446 947 84 × 2 = 1 + 0,926 893 895 68;
  • 19) 0,926 893 895 68 × 2 = 1 + 0,853 787 791 36;
  • 20) 0,853 787 791 36 × 2 = 1 + 0,707 575 582 72;
  • 21) 0,707 575 582 72 × 2 = 1 + 0,415 151 165 44;
  • 22) 0,415 151 165 44 × 2 = 0 + 0,830 302 330 88;
  • 23) 0,830 302 330 88 × 2 = 1 + 0,660 604 661 76;
  • 24) 0,660 604 661 76 × 2 = 1 + 0,321 209 323 52;
  • 25) 0,321 209 323 52 × 2 = 0 + 0,642 418 647 04;
  • 26) 0,642 418 647 04 × 2 = 1 + 0,284 837 294 08;
  • 27) 0,284 837 294 08 × 2 = 0 + 0,569 674 588 16;
  • 28) 0,569 674 588 16 × 2 = 1 + 0,139 349 176 32;
  • 29) 0,139 349 176 32 × 2 = 0 + 0,278 698 352 64;
  • 30) 0,278 698 352 64 × 2 = 0 + 0,557 396 705 28;
  • 31) 0,557 396 705 28 × 2 = 1 + 0,114 793 410 56;
  • 32) 0,114 793 410 56 × 2 = 0 + 0,229 586 821 12;
  • 33) 0,229 586 821 12 × 2 = 0 + 0,459 173 642 24;
  • 34) 0,459 173 642 24 × 2 = 0 + 0,918 347 284 48;
  • 35) 0,918 347 284 48 × 2 = 1 + 0,836 694 568 96;
  • 36) 0,836 694 568 96 × 2 = 1 + 0,673 389 137 92;
  • 37) 0,673 389 137 92 × 2 = 1 + 0,346 778 275 84;
  • 38) 0,346 778 275 84 × 2 = 0 + 0,693 556 551 68;
  • 39) 0,693 556 551 68 × 2 = 1 + 0,387 113 103 36;
  • 40) 0,387 113 103 36 × 2 = 0 + 0,774 226 206 72;
  • 41) 0,774 226 206 72 × 2 = 1 + 0,548 452 413 44;
  • 42) 0,548 452 413 44 × 2 = 1 + 0,096 904 826 88;
  • 43) 0,096 904 826 88 × 2 = 0 + 0,193 809 653 76;
  • 44) 0,193 809 653 76 × 2 = 0 + 0,387 619 307 52;
  • 45) 0,387 619 307 52 × 2 = 0 + 0,775 238 615 04;
  • 46) 0,775 238 615 04 × 2 = 1 + 0,550 477 230 08;
  • 47) 0,550 477 230 08 × 2 = 1 + 0,100 954 460 16;
  • 48) 0,100 954 460 16 × 2 = 0 + 0,201 908 920 32;
  • 49) 0,201 908 920 32 × 2 = 0 + 0,403 817 840 64;
  • 50) 0,403 817 840 64 × 2 = 0 + 0,807 635 681 28;
  • 51) 0,807 635 681 28 × 2 = 1 + 0,615 271 362 56;
  • 52) 0,615 271 362 56 × 2 = 1 + 0,230 542 725 12;
  • 53) 0,230 542 725 12 × 2 = 0 + 0,461 085 450 24;
  • 54) 0,461 085 450 24 × 2 = 0 + 0,922 170 900 48;
  • 55) 0,922 170 900 48 × 2 = 1 + 0,844 341 800 96;
  • 56) 0,844 341 800 96 × 2 = 1 + 0,688 683 601 92;
  • 57) 0,688 683 601 92 × 2 = 1 + 0,377 367 203 84;
  • 58) 0,377 367 203 84 × 2 = 0 + 0,754 734 407 68;
  • 59) 0,754 734 407 68 × 2 = 1 + 0,509 468 815 36;
  • 60) 0,509 468 815 36 × 2 = 1 + 0,018 937 630 72;
  • 61) 0,018 937 630 72 × 2 = 0 + 0,037 875 261 44;
  • 62) 0,037 875 261 44 × 2 = 0 + 0,075 750 522 88;
  • 63) 0,075 750 522 88 × 2 = 0 + 0,151 501 045 76;
  • 64) 0,151 501 045 76 × 2 = 0 + 0,303 002 091 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 72(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 72(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 72(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000 =

0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000


Numărul zecimal -0,000 282 008 72 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0010 0011 1010 1100 0110 0011 0011 1011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 25 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100