-0,000 282 008 76 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 76(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 76(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 76| = 0,000 282 008 76


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 76.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 76 × 2 = 0 + 0,000 564 017 52;
  • 2) 0,000 564 017 52 × 2 = 0 + 0,001 128 035 04;
  • 3) 0,001 128 035 04 × 2 = 0 + 0,002 256 070 08;
  • 4) 0,002 256 070 08 × 2 = 0 + 0,004 512 140 16;
  • 5) 0,004 512 140 16 × 2 = 0 + 0,009 024 280 32;
  • 6) 0,009 024 280 32 × 2 = 0 + 0,018 048 560 64;
  • 7) 0,018 048 560 64 × 2 = 0 + 0,036 097 121 28;
  • 8) 0,036 097 121 28 × 2 = 0 + 0,072 194 242 56;
  • 9) 0,072 194 242 56 × 2 = 0 + 0,144 388 485 12;
  • 10) 0,144 388 485 12 × 2 = 0 + 0,288 776 970 24;
  • 11) 0,288 776 970 24 × 2 = 0 + 0,577 553 940 48;
  • 12) 0,577 553 940 48 × 2 = 1 + 0,155 107 880 96;
  • 13) 0,155 107 880 96 × 2 = 0 + 0,310 215 761 92;
  • 14) 0,310 215 761 92 × 2 = 0 + 0,620 431 523 84;
  • 15) 0,620 431 523 84 × 2 = 1 + 0,240 863 047 68;
  • 16) 0,240 863 047 68 × 2 = 0 + 0,481 726 095 36;
  • 17) 0,481 726 095 36 × 2 = 0 + 0,963 452 190 72;
  • 18) 0,963 452 190 72 × 2 = 1 + 0,926 904 381 44;
  • 19) 0,926 904 381 44 × 2 = 1 + 0,853 808 762 88;
  • 20) 0,853 808 762 88 × 2 = 1 + 0,707 617 525 76;
  • 21) 0,707 617 525 76 × 2 = 1 + 0,415 235 051 52;
  • 22) 0,415 235 051 52 × 2 = 0 + 0,830 470 103 04;
  • 23) 0,830 470 103 04 × 2 = 1 + 0,660 940 206 08;
  • 24) 0,660 940 206 08 × 2 = 1 + 0,321 880 412 16;
  • 25) 0,321 880 412 16 × 2 = 0 + 0,643 760 824 32;
  • 26) 0,643 760 824 32 × 2 = 1 + 0,287 521 648 64;
  • 27) 0,287 521 648 64 × 2 = 0 + 0,575 043 297 28;
  • 28) 0,575 043 297 28 × 2 = 1 + 0,150 086 594 56;
  • 29) 0,150 086 594 56 × 2 = 0 + 0,300 173 189 12;
  • 30) 0,300 173 189 12 × 2 = 0 + 0,600 346 378 24;
  • 31) 0,600 346 378 24 × 2 = 1 + 0,200 692 756 48;
  • 32) 0,200 692 756 48 × 2 = 0 + 0,401 385 512 96;
  • 33) 0,401 385 512 96 × 2 = 0 + 0,802 771 025 92;
  • 34) 0,802 771 025 92 × 2 = 1 + 0,605 542 051 84;
  • 35) 0,605 542 051 84 × 2 = 1 + 0,211 084 103 68;
  • 36) 0,211 084 103 68 × 2 = 0 + 0,422 168 207 36;
  • 37) 0,422 168 207 36 × 2 = 0 + 0,844 336 414 72;
  • 38) 0,844 336 414 72 × 2 = 1 + 0,688 672 829 44;
  • 39) 0,688 672 829 44 × 2 = 1 + 0,377 345 658 88;
  • 40) 0,377 345 658 88 × 2 = 0 + 0,754 691 317 76;
  • 41) 0,754 691 317 76 × 2 = 1 + 0,509 382 635 52;
  • 42) 0,509 382 635 52 × 2 = 1 + 0,018 765 271 04;
  • 43) 0,018 765 271 04 × 2 = 0 + 0,037 530 542 08;
  • 44) 0,037 530 542 08 × 2 = 0 + 0,075 061 084 16;
  • 45) 0,075 061 084 16 × 2 = 0 + 0,150 122 168 32;
  • 46) 0,150 122 168 32 × 2 = 0 + 0,300 244 336 64;
  • 47) 0,300 244 336 64 × 2 = 0 + 0,600 488 673 28;
  • 48) 0,600 488 673 28 × 2 = 1 + 0,200 977 346 56;
  • 49) 0,200 977 346 56 × 2 = 0 + 0,401 954 693 12;
  • 50) 0,401 954 693 12 × 2 = 0 + 0,803 909 386 24;
  • 51) 0,803 909 386 24 × 2 = 1 + 0,607 818 772 48;
  • 52) 0,607 818 772 48 × 2 = 1 + 0,215 637 544 96;
  • 53) 0,215 637 544 96 × 2 = 0 + 0,431 275 089 92;
  • 54) 0,431 275 089 92 × 2 = 0 + 0,862 550 179 84;
  • 55) 0,862 550 179 84 × 2 = 1 + 0,725 100 359 68;
  • 56) 0,725 100 359 68 × 2 = 1 + 0,450 200 719 36;
  • 57) 0,450 200 719 36 × 2 = 0 + 0,900 401 438 72;
  • 58) 0,900 401 438 72 × 2 = 1 + 0,800 802 877 44;
  • 59) 0,800 802 877 44 × 2 = 1 + 0,601 605 754 88;
  • 60) 0,601 605 754 88 × 2 = 1 + 0,203 211 509 76;
  • 61) 0,203 211 509 76 × 2 = 0 + 0,406 423 019 52;
  • 62) 0,406 423 019 52 × 2 = 0 + 0,812 846 039 04;
  • 63) 0,812 846 039 04 × 2 = 1 + 0,625 692 078 08;
  • 64) 0,625 692 078 08 × 2 = 1 + 0,251 384 156 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011 =

0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 008 76 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0010 0110 0110 1100 0001 0011 0011 0111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100