-0,000 282 008 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 88| = 0,000 282 008 88


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 88 × 2 = 0 + 0,000 564 017 76;
  • 2) 0,000 564 017 76 × 2 = 0 + 0,001 128 035 52;
  • 3) 0,001 128 035 52 × 2 = 0 + 0,002 256 071 04;
  • 4) 0,002 256 071 04 × 2 = 0 + 0,004 512 142 08;
  • 5) 0,004 512 142 08 × 2 = 0 + 0,009 024 284 16;
  • 6) 0,009 024 284 16 × 2 = 0 + 0,018 048 568 32;
  • 7) 0,018 048 568 32 × 2 = 0 + 0,036 097 136 64;
  • 8) 0,036 097 136 64 × 2 = 0 + 0,072 194 273 28;
  • 9) 0,072 194 273 28 × 2 = 0 + 0,144 388 546 56;
  • 10) 0,144 388 546 56 × 2 = 0 + 0,288 777 093 12;
  • 11) 0,288 777 093 12 × 2 = 0 + 0,577 554 186 24;
  • 12) 0,577 554 186 24 × 2 = 1 + 0,155 108 372 48;
  • 13) 0,155 108 372 48 × 2 = 0 + 0,310 216 744 96;
  • 14) 0,310 216 744 96 × 2 = 0 + 0,620 433 489 92;
  • 15) 0,620 433 489 92 × 2 = 1 + 0,240 866 979 84;
  • 16) 0,240 866 979 84 × 2 = 0 + 0,481 733 959 68;
  • 17) 0,481 733 959 68 × 2 = 0 + 0,963 467 919 36;
  • 18) 0,963 467 919 36 × 2 = 1 + 0,926 935 838 72;
  • 19) 0,926 935 838 72 × 2 = 1 + 0,853 871 677 44;
  • 20) 0,853 871 677 44 × 2 = 1 + 0,707 743 354 88;
  • 21) 0,707 743 354 88 × 2 = 1 + 0,415 486 709 76;
  • 22) 0,415 486 709 76 × 2 = 0 + 0,830 973 419 52;
  • 23) 0,830 973 419 52 × 2 = 1 + 0,661 946 839 04;
  • 24) 0,661 946 839 04 × 2 = 1 + 0,323 893 678 08;
  • 25) 0,323 893 678 08 × 2 = 0 + 0,647 787 356 16;
  • 26) 0,647 787 356 16 × 2 = 1 + 0,295 574 712 32;
  • 27) 0,295 574 712 32 × 2 = 0 + 0,591 149 424 64;
  • 28) 0,591 149 424 64 × 2 = 1 + 0,182 298 849 28;
  • 29) 0,182 298 849 28 × 2 = 0 + 0,364 597 698 56;
  • 30) 0,364 597 698 56 × 2 = 0 + 0,729 195 397 12;
  • 31) 0,729 195 397 12 × 2 = 1 + 0,458 390 794 24;
  • 32) 0,458 390 794 24 × 2 = 0 + 0,916 781 588 48;
  • 33) 0,916 781 588 48 × 2 = 1 + 0,833 563 176 96;
  • 34) 0,833 563 176 96 × 2 = 1 + 0,667 126 353 92;
  • 35) 0,667 126 353 92 × 2 = 1 + 0,334 252 707 84;
  • 36) 0,334 252 707 84 × 2 = 0 + 0,668 505 415 68;
  • 37) 0,668 505 415 68 × 2 = 1 + 0,337 010 831 36;
  • 38) 0,337 010 831 36 × 2 = 0 + 0,674 021 662 72;
  • 39) 0,674 021 662 72 × 2 = 1 + 0,348 043 325 44;
  • 40) 0,348 043 325 44 × 2 = 0 + 0,696 086 650 88;
  • 41) 0,696 086 650 88 × 2 = 1 + 0,392 173 301 76;
  • 42) 0,392 173 301 76 × 2 = 0 + 0,784 346 603 52;
  • 43) 0,784 346 603 52 × 2 = 1 + 0,568 693 207 04;
  • 44) 0,568 693 207 04 × 2 = 1 + 0,137 386 414 08;
  • 45) 0,137 386 414 08 × 2 = 0 + 0,274 772 828 16;
  • 46) 0,274 772 828 16 × 2 = 0 + 0,549 545 656 32;
  • 47) 0,549 545 656 32 × 2 = 1 + 0,099 091 312 64;
  • 48) 0,099 091 312 64 × 2 = 0 + 0,198 182 625 28;
  • 49) 0,198 182 625 28 × 2 = 0 + 0,396 365 250 56;
  • 50) 0,396 365 250 56 × 2 = 0 + 0,792 730 501 12;
  • 51) 0,792 730 501 12 × 2 = 1 + 0,585 461 002 24;
  • 52) 0,585 461 002 24 × 2 = 1 + 0,170 922 004 48;
  • 53) 0,170 922 004 48 × 2 = 0 + 0,341 844 008 96;
  • 54) 0,341 844 008 96 × 2 = 0 + 0,683 688 017 92;
  • 55) 0,683 688 017 92 × 2 = 1 + 0,367 376 035 84;
  • 56) 0,367 376 035 84 × 2 = 0 + 0,734 752 071 68;
  • 57) 0,734 752 071 68 × 2 = 1 + 0,469 504 143 36;
  • 58) 0,469 504 143 36 × 2 = 0 + 0,939 008 286 72;
  • 59) 0,939 008 286 72 × 2 = 1 + 0,878 016 573 44;
  • 60) 0,878 016 573 44 × 2 = 1 + 0,756 033 146 88;
  • 61) 0,756 033 146 88 × 2 = 1 + 0,512 066 293 76;
  • 62) 0,512 066 293 76 × 2 = 1 + 0,024 132 587 52;
  • 63) 0,024 132 587 52 × 2 = 0 + 0,048 265 175 04;
  • 64) 0,048 265 175 04 × 2 = 0 + 0,096 530 350 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 88(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 88(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 88(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100 =

0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100


Numărul zecimal -0,000 282 008 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0010 1110 1010 1011 0010 0011 0010 1011 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100