-0,000 282 008 91 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 91(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 91(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 91| = 0,000 282 008 91


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 91.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 91 × 2 = 0 + 0,000 564 017 82;
  • 2) 0,000 564 017 82 × 2 = 0 + 0,001 128 035 64;
  • 3) 0,001 128 035 64 × 2 = 0 + 0,002 256 071 28;
  • 4) 0,002 256 071 28 × 2 = 0 + 0,004 512 142 56;
  • 5) 0,004 512 142 56 × 2 = 0 + 0,009 024 285 12;
  • 6) 0,009 024 285 12 × 2 = 0 + 0,018 048 570 24;
  • 7) 0,018 048 570 24 × 2 = 0 + 0,036 097 140 48;
  • 8) 0,036 097 140 48 × 2 = 0 + 0,072 194 280 96;
  • 9) 0,072 194 280 96 × 2 = 0 + 0,144 388 561 92;
  • 10) 0,144 388 561 92 × 2 = 0 + 0,288 777 123 84;
  • 11) 0,288 777 123 84 × 2 = 0 + 0,577 554 247 68;
  • 12) 0,577 554 247 68 × 2 = 1 + 0,155 108 495 36;
  • 13) 0,155 108 495 36 × 2 = 0 + 0,310 216 990 72;
  • 14) 0,310 216 990 72 × 2 = 0 + 0,620 433 981 44;
  • 15) 0,620 433 981 44 × 2 = 1 + 0,240 867 962 88;
  • 16) 0,240 867 962 88 × 2 = 0 + 0,481 735 925 76;
  • 17) 0,481 735 925 76 × 2 = 0 + 0,963 471 851 52;
  • 18) 0,963 471 851 52 × 2 = 1 + 0,926 943 703 04;
  • 19) 0,926 943 703 04 × 2 = 1 + 0,853 887 406 08;
  • 20) 0,853 887 406 08 × 2 = 1 + 0,707 774 812 16;
  • 21) 0,707 774 812 16 × 2 = 1 + 0,415 549 624 32;
  • 22) 0,415 549 624 32 × 2 = 0 + 0,831 099 248 64;
  • 23) 0,831 099 248 64 × 2 = 1 + 0,662 198 497 28;
  • 24) 0,662 198 497 28 × 2 = 1 + 0,324 396 994 56;
  • 25) 0,324 396 994 56 × 2 = 0 + 0,648 793 989 12;
  • 26) 0,648 793 989 12 × 2 = 1 + 0,297 587 978 24;
  • 27) 0,297 587 978 24 × 2 = 0 + 0,595 175 956 48;
  • 28) 0,595 175 956 48 × 2 = 1 + 0,190 351 912 96;
  • 29) 0,190 351 912 96 × 2 = 0 + 0,380 703 825 92;
  • 30) 0,380 703 825 92 × 2 = 0 + 0,761 407 651 84;
  • 31) 0,761 407 651 84 × 2 = 1 + 0,522 815 303 68;
  • 32) 0,522 815 303 68 × 2 = 1 + 0,045 630 607 36;
  • 33) 0,045 630 607 36 × 2 = 0 + 0,091 261 214 72;
  • 34) 0,091 261 214 72 × 2 = 0 + 0,182 522 429 44;
  • 35) 0,182 522 429 44 × 2 = 0 + 0,365 044 858 88;
  • 36) 0,365 044 858 88 × 2 = 0 + 0,730 089 717 76;
  • 37) 0,730 089 717 76 × 2 = 1 + 0,460 179 435 52;
  • 38) 0,460 179 435 52 × 2 = 0 + 0,920 358 871 04;
  • 39) 0,920 358 871 04 × 2 = 1 + 0,840 717 742 08;
  • 40) 0,840 717 742 08 × 2 = 1 + 0,681 435 484 16;
  • 41) 0,681 435 484 16 × 2 = 1 + 0,362 870 968 32;
  • 42) 0,362 870 968 32 × 2 = 0 + 0,725 741 936 64;
  • 43) 0,725 741 936 64 × 2 = 1 + 0,451 483 873 28;
  • 44) 0,451 483 873 28 × 2 = 0 + 0,902 967 746 56;
  • 45) 0,902 967 746 56 × 2 = 1 + 0,805 935 493 12;
  • 46) 0,805 935 493 12 × 2 = 1 + 0,611 870 986 24;
  • 47) 0,611 870 986 24 × 2 = 1 + 0,223 741 972 48;
  • 48) 0,223 741 972 48 × 2 = 0 + 0,447 483 944 96;
  • 49) 0,447 483 944 96 × 2 = 0 + 0,894 967 889 92;
  • 50) 0,894 967 889 92 × 2 = 1 + 0,789 935 779 84;
  • 51) 0,789 935 779 84 × 2 = 1 + 0,579 871 559 68;
  • 52) 0,579 871 559 68 × 2 = 1 + 0,159 743 119 36;
  • 53) 0,159 743 119 36 × 2 = 0 + 0,319 486 238 72;
  • 54) 0,319 486 238 72 × 2 = 0 + 0,638 972 477 44;
  • 55) 0,638 972 477 44 × 2 = 1 + 0,277 944 954 88;
  • 56) 0,277 944 954 88 × 2 = 0 + 0,555 889 909 76;
  • 57) 0,555 889 909 76 × 2 = 1 + 0,111 779 819 52;
  • 58) 0,111 779 819 52 × 2 = 0 + 0,223 559 639 04;
  • 59) 0,223 559 639 04 × 2 = 0 + 0,447 119 278 08;
  • 60) 0,447 119 278 08 × 2 = 0 + 0,894 238 556 16;
  • 61) 0,894 238 556 16 × 2 = 1 + 0,788 477 112 32;
  • 62) 0,788 477 112 32 × 2 = 1 + 0,576 954 224 64;
  • 63) 0,576 954 224 64 × 2 = 1 + 0,153 908 449 28;
  • 64) 0,153 908 449 28 × 2 = 0 + 0,307 816 898 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 91(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 91(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 91(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110 =

0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110


Numărul zecimal -0,000 282 008 91 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0011 0000 1011 1010 1110 0111 0010 1000 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100