-0,000 282 008 96 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 008 96(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 008 96(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 008 96| = 0,000 282 008 96


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 008 96.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 008 96 × 2 = 0 + 0,000 564 017 92;
  • 2) 0,000 564 017 92 × 2 = 0 + 0,001 128 035 84;
  • 3) 0,001 128 035 84 × 2 = 0 + 0,002 256 071 68;
  • 4) 0,002 256 071 68 × 2 = 0 + 0,004 512 143 36;
  • 5) 0,004 512 143 36 × 2 = 0 + 0,009 024 286 72;
  • 6) 0,009 024 286 72 × 2 = 0 + 0,018 048 573 44;
  • 7) 0,018 048 573 44 × 2 = 0 + 0,036 097 146 88;
  • 8) 0,036 097 146 88 × 2 = 0 + 0,072 194 293 76;
  • 9) 0,072 194 293 76 × 2 = 0 + 0,144 388 587 52;
  • 10) 0,144 388 587 52 × 2 = 0 + 0,288 777 175 04;
  • 11) 0,288 777 175 04 × 2 = 0 + 0,577 554 350 08;
  • 12) 0,577 554 350 08 × 2 = 1 + 0,155 108 700 16;
  • 13) 0,155 108 700 16 × 2 = 0 + 0,310 217 400 32;
  • 14) 0,310 217 400 32 × 2 = 0 + 0,620 434 800 64;
  • 15) 0,620 434 800 64 × 2 = 1 + 0,240 869 601 28;
  • 16) 0,240 869 601 28 × 2 = 0 + 0,481 739 202 56;
  • 17) 0,481 739 202 56 × 2 = 0 + 0,963 478 405 12;
  • 18) 0,963 478 405 12 × 2 = 1 + 0,926 956 810 24;
  • 19) 0,926 956 810 24 × 2 = 1 + 0,853 913 620 48;
  • 20) 0,853 913 620 48 × 2 = 1 + 0,707 827 240 96;
  • 21) 0,707 827 240 96 × 2 = 1 + 0,415 654 481 92;
  • 22) 0,415 654 481 92 × 2 = 0 + 0,831 308 963 84;
  • 23) 0,831 308 963 84 × 2 = 1 + 0,662 617 927 68;
  • 24) 0,662 617 927 68 × 2 = 1 + 0,325 235 855 36;
  • 25) 0,325 235 855 36 × 2 = 0 + 0,650 471 710 72;
  • 26) 0,650 471 710 72 × 2 = 1 + 0,300 943 421 44;
  • 27) 0,300 943 421 44 × 2 = 0 + 0,601 886 842 88;
  • 28) 0,601 886 842 88 × 2 = 1 + 0,203 773 685 76;
  • 29) 0,203 773 685 76 × 2 = 0 + 0,407 547 371 52;
  • 30) 0,407 547 371 52 × 2 = 0 + 0,815 094 743 04;
  • 31) 0,815 094 743 04 × 2 = 1 + 0,630 189 486 08;
  • 32) 0,630 189 486 08 × 2 = 1 + 0,260 378 972 16;
  • 33) 0,260 378 972 16 × 2 = 0 + 0,520 757 944 32;
  • 34) 0,520 757 944 32 × 2 = 1 + 0,041 515 888 64;
  • 35) 0,041 515 888 64 × 2 = 0 + 0,083 031 777 28;
  • 36) 0,083 031 777 28 × 2 = 0 + 0,166 063 554 56;
  • 37) 0,166 063 554 56 × 2 = 0 + 0,332 127 109 12;
  • 38) 0,332 127 109 12 × 2 = 0 + 0,664 254 218 24;
  • 39) 0,664 254 218 24 × 2 = 1 + 0,328 508 436 48;
  • 40) 0,328 508 436 48 × 2 = 0 + 0,657 016 872 96;
  • 41) 0,657 016 872 96 × 2 = 1 + 0,314 033 745 92;
  • 42) 0,314 033 745 92 × 2 = 0 + 0,628 067 491 84;
  • 43) 0,628 067 491 84 × 2 = 1 + 0,256 134 983 68;
  • 44) 0,256 134 983 68 × 2 = 0 + 0,512 269 967 36;
  • 45) 0,512 269 967 36 × 2 = 1 + 0,024 539 934 72;
  • 46) 0,024 539 934 72 × 2 = 0 + 0,049 079 869 44;
  • 47) 0,049 079 869 44 × 2 = 0 + 0,098 159 738 88;
  • 48) 0,098 159 738 88 × 2 = 0 + 0,196 319 477 76;
  • 49) 0,196 319 477 76 × 2 = 0 + 0,392 638 955 52;
  • 50) 0,392 638 955 52 × 2 = 0 + 0,785 277 911 04;
  • 51) 0,785 277 911 04 × 2 = 1 + 0,570 555 822 08;
  • 52) 0,570 555 822 08 × 2 = 1 + 0,141 111 644 16;
  • 53) 0,141 111 644 16 × 2 = 0 + 0,282 223 288 32;
  • 54) 0,282 223 288 32 × 2 = 0 + 0,564 446 576 64;
  • 55) 0,564 446 576 64 × 2 = 1 + 0,128 893 153 28;
  • 56) 0,128 893 153 28 × 2 = 0 + 0,257 786 306 56;
  • 57) 0,257 786 306 56 × 2 = 0 + 0,515 572 613 12;
  • 58) 0,515 572 613 12 × 2 = 1 + 0,031 145 226 24;
  • 59) 0,031 145 226 24 × 2 = 0 + 0,062 290 452 48;
  • 60) 0,062 290 452 48 × 2 = 0 + 0,124 580 904 96;
  • 61) 0,124 580 904 96 × 2 = 0 + 0,249 161 809 92;
  • 62) 0,249 161 809 92 × 2 = 0 + 0,498 323 619 84;
  • 63) 0,498 323 619 84 × 2 = 0 + 0,996 647 239 68;
  • 64) 0,996 647 239 68 × 2 = 1 + 0,993 294 479 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 008 96(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 008 96(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 008 96(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001 =

0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001


Numărul zecimal -0,000 282 008 96 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0011 0100 0010 1010 1000 0011 0010 0100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 59 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100