-0,000 282 009 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 04| = 0,000 282 009 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 04 × 2 = 0 + 0,000 564 018 08;
  • 2) 0,000 564 018 08 × 2 = 0 + 0,001 128 036 16;
  • 3) 0,001 128 036 16 × 2 = 0 + 0,002 256 072 32;
  • 4) 0,002 256 072 32 × 2 = 0 + 0,004 512 144 64;
  • 5) 0,004 512 144 64 × 2 = 0 + 0,009 024 289 28;
  • 6) 0,009 024 289 28 × 2 = 0 + 0,018 048 578 56;
  • 7) 0,018 048 578 56 × 2 = 0 + 0,036 097 157 12;
  • 8) 0,036 097 157 12 × 2 = 0 + 0,072 194 314 24;
  • 9) 0,072 194 314 24 × 2 = 0 + 0,144 388 628 48;
  • 10) 0,144 388 628 48 × 2 = 0 + 0,288 777 256 96;
  • 11) 0,288 777 256 96 × 2 = 0 + 0,577 554 513 92;
  • 12) 0,577 554 513 92 × 2 = 1 + 0,155 109 027 84;
  • 13) 0,155 109 027 84 × 2 = 0 + 0,310 218 055 68;
  • 14) 0,310 218 055 68 × 2 = 0 + 0,620 436 111 36;
  • 15) 0,620 436 111 36 × 2 = 1 + 0,240 872 222 72;
  • 16) 0,240 872 222 72 × 2 = 0 + 0,481 744 445 44;
  • 17) 0,481 744 445 44 × 2 = 0 + 0,963 488 890 88;
  • 18) 0,963 488 890 88 × 2 = 1 + 0,926 977 781 76;
  • 19) 0,926 977 781 76 × 2 = 1 + 0,853 955 563 52;
  • 20) 0,853 955 563 52 × 2 = 1 + 0,707 911 127 04;
  • 21) 0,707 911 127 04 × 2 = 1 + 0,415 822 254 08;
  • 22) 0,415 822 254 08 × 2 = 0 + 0,831 644 508 16;
  • 23) 0,831 644 508 16 × 2 = 1 + 0,663 289 016 32;
  • 24) 0,663 289 016 32 × 2 = 1 + 0,326 578 032 64;
  • 25) 0,326 578 032 64 × 2 = 0 + 0,653 156 065 28;
  • 26) 0,653 156 065 28 × 2 = 1 + 0,306 312 130 56;
  • 27) 0,306 312 130 56 × 2 = 0 + 0,612 624 261 12;
  • 28) 0,612 624 261 12 × 2 = 1 + 0,225 248 522 24;
  • 29) 0,225 248 522 24 × 2 = 0 + 0,450 497 044 48;
  • 30) 0,450 497 044 48 × 2 = 0 + 0,900 994 088 96;
  • 31) 0,900 994 088 96 × 2 = 1 + 0,801 988 177 92;
  • 32) 0,801 988 177 92 × 2 = 1 + 0,603 976 355 84;
  • 33) 0,603 976 355 84 × 2 = 1 + 0,207 952 711 68;
  • 34) 0,207 952 711 68 × 2 = 0 + 0,415 905 423 36;
  • 35) 0,415 905 423 36 × 2 = 0 + 0,831 810 846 72;
  • 36) 0,831 810 846 72 × 2 = 1 + 0,663 621 693 44;
  • 37) 0,663 621 693 44 × 2 = 1 + 0,327 243 386 88;
  • 38) 0,327 243 386 88 × 2 = 0 + 0,654 486 773 76;
  • 39) 0,654 486 773 76 × 2 = 1 + 0,308 973 547 52;
  • 40) 0,308 973 547 52 × 2 = 0 + 0,617 947 095 04;
  • 41) 0,617 947 095 04 × 2 = 1 + 0,235 894 190 08;
  • 42) 0,235 894 190 08 × 2 = 0 + 0,471 788 380 16;
  • 43) 0,471 788 380 16 × 2 = 0 + 0,943 576 760 32;
  • 44) 0,943 576 760 32 × 2 = 1 + 0,887 153 520 64;
  • 45) 0,887 153 520 64 × 2 = 1 + 0,774 307 041 28;
  • 46) 0,774 307 041 28 × 2 = 1 + 0,548 614 082 56;
  • 47) 0,548 614 082 56 × 2 = 1 + 0,097 228 165 12;
  • 48) 0,097 228 165 12 × 2 = 0 + 0,194 456 330 24;
  • 49) 0,194 456 330 24 × 2 = 0 + 0,388 912 660 48;
  • 50) 0,388 912 660 48 × 2 = 0 + 0,777 825 320 96;
  • 51) 0,777 825 320 96 × 2 = 1 + 0,555 650 641 92;
  • 52) 0,555 650 641 92 × 2 = 1 + 0,111 301 283 84;
  • 53) 0,111 301 283 84 × 2 = 0 + 0,222 602 567 68;
  • 54) 0,222 602 567 68 × 2 = 0 + 0,445 205 135 36;
  • 55) 0,445 205 135 36 × 2 = 0 + 0,890 410 270 72;
  • 56) 0,890 410 270 72 × 2 = 1 + 0,780 820 541 44;
  • 57) 0,780 820 541 44 × 2 = 1 + 0,561 641 082 88;
  • 58) 0,561 641 082 88 × 2 = 1 + 0,123 282 165 76;
  • 59) 0,123 282 165 76 × 2 = 0 + 0,246 564 331 52;
  • 60) 0,246 564 331 52 × 2 = 0 + 0,493 128 663 04;
  • 61) 0,493 128 663 04 × 2 = 0 + 0,986 257 326 08;
  • 62) 0,986 257 326 08 × 2 = 1 + 0,972 514 652 16;
  • 63) 0,972 514 652 16 × 2 = 1 + 0,945 029 304 32;
  • 64) 0,945 029 304 32 × 2 = 1 + 0,890 058 608 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111 =

0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 009 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0011 1001 1010 1001 1110 0011 0001 1100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 16 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100