-0,000 282 009 46 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 46(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 46(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 46| = 0,000 282 009 46


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 46.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 46 × 2 = 0 + 0,000 564 018 92;
  • 2) 0,000 564 018 92 × 2 = 0 + 0,001 128 037 84;
  • 3) 0,001 128 037 84 × 2 = 0 + 0,002 256 075 68;
  • 4) 0,002 256 075 68 × 2 = 0 + 0,004 512 151 36;
  • 5) 0,004 512 151 36 × 2 = 0 + 0,009 024 302 72;
  • 6) 0,009 024 302 72 × 2 = 0 + 0,018 048 605 44;
  • 7) 0,018 048 605 44 × 2 = 0 + 0,036 097 210 88;
  • 8) 0,036 097 210 88 × 2 = 0 + 0,072 194 421 76;
  • 9) 0,072 194 421 76 × 2 = 0 + 0,144 388 843 52;
  • 10) 0,144 388 843 52 × 2 = 0 + 0,288 777 687 04;
  • 11) 0,288 777 687 04 × 2 = 0 + 0,577 555 374 08;
  • 12) 0,577 555 374 08 × 2 = 1 + 0,155 110 748 16;
  • 13) 0,155 110 748 16 × 2 = 0 + 0,310 221 496 32;
  • 14) 0,310 221 496 32 × 2 = 0 + 0,620 442 992 64;
  • 15) 0,620 442 992 64 × 2 = 1 + 0,240 885 985 28;
  • 16) 0,240 885 985 28 × 2 = 0 + 0,481 771 970 56;
  • 17) 0,481 771 970 56 × 2 = 0 + 0,963 543 941 12;
  • 18) 0,963 543 941 12 × 2 = 1 + 0,927 087 882 24;
  • 19) 0,927 087 882 24 × 2 = 1 + 0,854 175 764 48;
  • 20) 0,854 175 764 48 × 2 = 1 + 0,708 351 528 96;
  • 21) 0,708 351 528 96 × 2 = 1 + 0,416 703 057 92;
  • 22) 0,416 703 057 92 × 2 = 0 + 0,833 406 115 84;
  • 23) 0,833 406 115 84 × 2 = 1 + 0,666 812 231 68;
  • 24) 0,666 812 231 68 × 2 = 1 + 0,333 624 463 36;
  • 25) 0,333 624 463 36 × 2 = 0 + 0,667 248 926 72;
  • 26) 0,667 248 926 72 × 2 = 1 + 0,334 497 853 44;
  • 27) 0,334 497 853 44 × 2 = 0 + 0,668 995 706 88;
  • 28) 0,668 995 706 88 × 2 = 1 + 0,337 991 413 76;
  • 29) 0,337 991 413 76 × 2 = 0 + 0,675 982 827 52;
  • 30) 0,675 982 827 52 × 2 = 1 + 0,351 965 655 04;
  • 31) 0,351 965 655 04 × 2 = 0 + 0,703 931 310 08;
  • 32) 0,703 931 310 08 × 2 = 1 + 0,407 862 620 16;
  • 33) 0,407 862 620 16 × 2 = 0 + 0,815 725 240 32;
  • 34) 0,815 725 240 32 × 2 = 1 + 0,631 450 480 64;
  • 35) 0,631 450 480 64 × 2 = 1 + 0,262 900 961 28;
  • 36) 0,262 900 961 28 × 2 = 0 + 0,525 801 922 56;
  • 37) 0,525 801 922 56 × 2 = 1 + 0,051 603 845 12;
  • 38) 0,051 603 845 12 × 2 = 0 + 0,103 207 690 24;
  • 39) 0,103 207 690 24 × 2 = 0 + 0,206 415 380 48;
  • 40) 0,206 415 380 48 × 2 = 0 + 0,412 830 760 96;
  • 41) 0,412 830 760 96 × 2 = 0 + 0,825 661 521 92;
  • 42) 0,825 661 521 92 × 2 = 1 + 0,651 323 043 84;
  • 43) 0,651 323 043 84 × 2 = 1 + 0,302 646 087 68;
  • 44) 0,302 646 087 68 × 2 = 0 + 0,605 292 175 36;
  • 45) 0,605 292 175 36 × 2 = 1 + 0,210 584 350 72;
  • 46) 0,210 584 350 72 × 2 = 0 + 0,421 168 701 44;
  • 47) 0,421 168 701 44 × 2 = 0 + 0,842 337 402 88;
  • 48) 0,842 337 402 88 × 2 = 1 + 0,684 674 805 76;
  • 49) 0,684 674 805 76 × 2 = 1 + 0,369 349 611 52;
  • 50) 0,369 349 611 52 × 2 = 0 + 0,738 699 223 04;
  • 51) 0,738 699 223 04 × 2 = 1 + 0,477 398 446 08;
  • 52) 0,477 398 446 08 × 2 = 0 + 0,954 796 892 16;
  • 53) 0,954 796 892 16 × 2 = 1 + 0,909 593 784 32;
  • 54) 0,909 593 784 32 × 2 = 1 + 0,819 187 568 64;
  • 55) 0,819 187 568 64 × 2 = 1 + 0,638 375 137 28;
  • 56) 0,638 375 137 28 × 2 = 1 + 0,276 750 274 56;
  • 57) 0,276 750 274 56 × 2 = 0 + 0,553 500 549 12;
  • 58) 0,553 500 549 12 × 2 = 1 + 0,107 001 098 24;
  • 59) 0,107 001 098 24 × 2 = 0 + 0,214 002 196 48;
  • 60) 0,214 002 196 48 × 2 = 0 + 0,428 004 392 96;
  • 61) 0,428 004 392 96 × 2 = 0 + 0,856 008 785 92;
  • 62) 0,856 008 785 92 × 2 = 1 + 0,712 017 571 84;
  • 63) 0,712 017 571 84 × 2 = 1 + 0,424 035 143 68;
  • 64) 0,424 035 143 68 × 2 = 0 + 0,848 070 287 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 46(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110 =

0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110


Numărul zecimal -0,000 282 009 46 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0101 0110 1000 0110 1001 1010 1111 0100 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 01 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100