-0,000 282 009 66 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 66(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 66(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 66| = 0,000 282 009 66


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 66.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 66 × 2 = 0 + 0,000 564 019 32;
  • 2) 0,000 564 019 32 × 2 = 0 + 0,001 128 038 64;
  • 3) 0,001 128 038 64 × 2 = 0 + 0,002 256 077 28;
  • 4) 0,002 256 077 28 × 2 = 0 + 0,004 512 154 56;
  • 5) 0,004 512 154 56 × 2 = 0 + 0,009 024 309 12;
  • 6) 0,009 024 309 12 × 2 = 0 + 0,018 048 618 24;
  • 7) 0,018 048 618 24 × 2 = 0 + 0,036 097 236 48;
  • 8) 0,036 097 236 48 × 2 = 0 + 0,072 194 472 96;
  • 9) 0,072 194 472 96 × 2 = 0 + 0,144 388 945 92;
  • 10) 0,144 388 945 92 × 2 = 0 + 0,288 777 891 84;
  • 11) 0,288 777 891 84 × 2 = 0 + 0,577 555 783 68;
  • 12) 0,577 555 783 68 × 2 = 1 + 0,155 111 567 36;
  • 13) 0,155 111 567 36 × 2 = 0 + 0,310 223 134 72;
  • 14) 0,310 223 134 72 × 2 = 0 + 0,620 446 269 44;
  • 15) 0,620 446 269 44 × 2 = 1 + 0,240 892 538 88;
  • 16) 0,240 892 538 88 × 2 = 0 + 0,481 785 077 76;
  • 17) 0,481 785 077 76 × 2 = 0 + 0,963 570 155 52;
  • 18) 0,963 570 155 52 × 2 = 1 + 0,927 140 311 04;
  • 19) 0,927 140 311 04 × 2 = 1 + 0,854 280 622 08;
  • 20) 0,854 280 622 08 × 2 = 1 + 0,708 561 244 16;
  • 21) 0,708 561 244 16 × 2 = 1 + 0,417 122 488 32;
  • 22) 0,417 122 488 32 × 2 = 0 + 0,834 244 976 64;
  • 23) 0,834 244 976 64 × 2 = 1 + 0,668 489 953 28;
  • 24) 0,668 489 953 28 × 2 = 1 + 0,336 979 906 56;
  • 25) 0,336 979 906 56 × 2 = 0 + 0,673 959 813 12;
  • 26) 0,673 959 813 12 × 2 = 1 + 0,347 919 626 24;
  • 27) 0,347 919 626 24 × 2 = 0 + 0,695 839 252 48;
  • 28) 0,695 839 252 48 × 2 = 1 + 0,391 678 504 96;
  • 29) 0,391 678 504 96 × 2 = 0 + 0,783 357 009 92;
  • 30) 0,783 357 009 92 × 2 = 1 + 0,566 714 019 84;
  • 31) 0,566 714 019 84 × 2 = 1 + 0,133 428 039 68;
  • 32) 0,133 428 039 68 × 2 = 0 + 0,266 856 079 36;
  • 33) 0,266 856 079 36 × 2 = 0 + 0,533 712 158 72;
  • 34) 0,533 712 158 72 × 2 = 1 + 0,067 424 317 44;
  • 35) 0,067 424 317 44 × 2 = 0 + 0,134 848 634 88;
  • 36) 0,134 848 634 88 × 2 = 0 + 0,269 697 269 76;
  • 37) 0,269 697 269 76 × 2 = 0 + 0,539 394 539 52;
  • 38) 0,539 394 539 52 × 2 = 1 + 0,078 789 079 04;
  • 39) 0,078 789 079 04 × 2 = 0 + 0,157 578 158 08;
  • 40) 0,157 578 158 08 × 2 = 0 + 0,315 156 316 16;
  • 41) 0,315 156 316 16 × 2 = 0 + 0,630 312 632 32;
  • 42) 0,630 312 632 32 × 2 = 1 + 0,260 625 264 64;
  • 43) 0,260 625 264 64 × 2 = 0 + 0,521 250 529 28;
  • 44) 0,521 250 529 28 × 2 = 1 + 0,042 501 058 56;
  • 45) 0,042 501 058 56 × 2 = 0 + 0,085 002 117 12;
  • 46) 0,085 002 117 12 × 2 = 0 + 0,170 004 234 24;
  • 47) 0,170 004 234 24 × 2 = 0 + 0,340 008 468 48;
  • 48) 0,340 008 468 48 × 2 = 0 + 0,680 016 936 96;
  • 49) 0,680 016 936 96 × 2 = 1 + 0,360 033 873 92;
  • 50) 0,360 033 873 92 × 2 = 0 + 0,720 067 747 84;
  • 51) 0,720 067 747 84 × 2 = 1 + 0,440 135 495 68;
  • 52) 0,440 135 495 68 × 2 = 0 + 0,880 270 991 36;
  • 53) 0,880 270 991 36 × 2 = 1 + 0,760 541 982 72;
  • 54) 0,760 541 982 72 × 2 = 1 + 0,521 083 965 44;
  • 55) 0,521 083 965 44 × 2 = 1 + 0,042 167 930 88;
  • 56) 0,042 167 930 88 × 2 = 0 + 0,084 335 861 76;
  • 57) 0,084 335 861 76 × 2 = 0 + 0,168 671 723 52;
  • 58) 0,168 671 723 52 × 2 = 0 + 0,337 343 447 04;
  • 59) 0,337 343 447 04 × 2 = 0 + 0,674 686 894 08;
  • 60) 0,674 686 894 08 × 2 = 1 + 0,349 373 788 16;
  • 61) 0,349 373 788 16 × 2 = 0 + 0,698 747 576 32;
  • 62) 0,698 747 576 32 × 2 = 1 + 0,397 495 152 64;
  • 63) 0,397 495 152 64 × 2 = 0 + 0,794 990 305 28;
  • 64) 0,794 990 305 28 × 2 = 1 + 0,589 980 610 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 66(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 66(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 66(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101 =

0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 009 66 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0110 0100 0100 0101 0000 1010 1110 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100