-0,000 282 009 86 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 009 86(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 009 86(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 009 86| = 0,000 282 009 86


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 009 86.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 009 86 × 2 = 0 + 0,000 564 019 72;
  • 2) 0,000 564 019 72 × 2 = 0 + 0,001 128 039 44;
  • 3) 0,001 128 039 44 × 2 = 0 + 0,002 256 078 88;
  • 4) 0,002 256 078 88 × 2 = 0 + 0,004 512 157 76;
  • 5) 0,004 512 157 76 × 2 = 0 + 0,009 024 315 52;
  • 6) 0,009 024 315 52 × 2 = 0 + 0,018 048 631 04;
  • 7) 0,018 048 631 04 × 2 = 0 + 0,036 097 262 08;
  • 8) 0,036 097 262 08 × 2 = 0 + 0,072 194 524 16;
  • 9) 0,072 194 524 16 × 2 = 0 + 0,144 389 048 32;
  • 10) 0,144 389 048 32 × 2 = 0 + 0,288 778 096 64;
  • 11) 0,288 778 096 64 × 2 = 0 + 0,577 556 193 28;
  • 12) 0,577 556 193 28 × 2 = 1 + 0,155 112 386 56;
  • 13) 0,155 112 386 56 × 2 = 0 + 0,310 224 773 12;
  • 14) 0,310 224 773 12 × 2 = 0 + 0,620 449 546 24;
  • 15) 0,620 449 546 24 × 2 = 1 + 0,240 899 092 48;
  • 16) 0,240 899 092 48 × 2 = 0 + 0,481 798 184 96;
  • 17) 0,481 798 184 96 × 2 = 0 + 0,963 596 369 92;
  • 18) 0,963 596 369 92 × 2 = 1 + 0,927 192 739 84;
  • 19) 0,927 192 739 84 × 2 = 1 + 0,854 385 479 68;
  • 20) 0,854 385 479 68 × 2 = 1 + 0,708 770 959 36;
  • 21) 0,708 770 959 36 × 2 = 1 + 0,417 541 918 72;
  • 22) 0,417 541 918 72 × 2 = 0 + 0,835 083 837 44;
  • 23) 0,835 083 837 44 × 2 = 1 + 0,670 167 674 88;
  • 24) 0,670 167 674 88 × 2 = 1 + 0,340 335 349 76;
  • 25) 0,340 335 349 76 × 2 = 0 + 0,680 670 699 52;
  • 26) 0,680 670 699 52 × 2 = 1 + 0,361 341 399 04;
  • 27) 0,361 341 399 04 × 2 = 0 + 0,722 682 798 08;
  • 28) 0,722 682 798 08 × 2 = 1 + 0,445 365 596 16;
  • 29) 0,445 365 596 16 × 2 = 0 + 0,890 731 192 32;
  • 30) 0,890 731 192 32 × 2 = 1 + 0,781 462 384 64;
  • 31) 0,781 462 384 64 × 2 = 1 + 0,562 924 769 28;
  • 32) 0,562 924 769 28 × 2 = 1 + 0,125 849 538 56;
  • 33) 0,125 849 538 56 × 2 = 0 + 0,251 699 077 12;
  • 34) 0,251 699 077 12 × 2 = 0 + 0,503 398 154 24;
  • 35) 0,503 398 154 24 × 2 = 1 + 0,006 796 308 48;
  • 36) 0,006 796 308 48 × 2 = 0 + 0,013 592 616 96;
  • 37) 0,013 592 616 96 × 2 = 0 + 0,027 185 233 92;
  • 38) 0,027 185 233 92 × 2 = 0 + 0,054 370 467 84;
  • 39) 0,054 370 467 84 × 2 = 0 + 0,108 740 935 68;
  • 40) 0,108 740 935 68 × 2 = 0 + 0,217 481 871 36;
  • 41) 0,217 481 871 36 × 2 = 0 + 0,434 963 742 72;
  • 42) 0,434 963 742 72 × 2 = 0 + 0,869 927 485 44;
  • 43) 0,869 927 485 44 × 2 = 1 + 0,739 854 970 88;
  • 44) 0,739 854 970 88 × 2 = 1 + 0,479 709 941 76;
  • 45) 0,479 709 941 76 × 2 = 0 + 0,959 419 883 52;
  • 46) 0,959 419 883 52 × 2 = 1 + 0,918 839 767 04;
  • 47) 0,918 839 767 04 × 2 = 1 + 0,837 679 534 08;
  • 48) 0,837 679 534 08 × 2 = 1 + 0,675 359 068 16;
  • 49) 0,675 359 068 16 × 2 = 1 + 0,350 718 136 32;
  • 50) 0,350 718 136 32 × 2 = 0 + 0,701 436 272 64;
  • 51) 0,701 436 272 64 × 2 = 1 + 0,402 872 545 28;
  • 52) 0,402 872 545 28 × 2 = 0 + 0,805 745 090 56;
  • 53) 0,805 745 090 56 × 2 = 1 + 0,611 490 181 12;
  • 54) 0,611 490 181 12 × 2 = 1 + 0,222 980 362 24;
  • 55) 0,222 980 362 24 × 2 = 0 + 0,445 960 724 48;
  • 56) 0,445 960 724 48 × 2 = 0 + 0,891 921 448 96;
  • 57) 0,891 921 448 96 × 2 = 1 + 0,783 842 897 92;
  • 58) 0,783 842 897 92 × 2 = 1 + 0,567 685 795 84;
  • 59) 0,567 685 795 84 × 2 = 1 + 0,135 371 591 68;
  • 60) 0,135 371 591 68 × 2 = 0 + 0,270 743 183 36;
  • 61) 0,270 743 183 36 × 2 = 0 + 0,541 486 366 72;
  • 62) 0,541 486 366 72 × 2 = 1 + 0,082 972 733 44;
  • 63) 0,082 972 733 44 × 2 = 0 + 0,165 945 466 88;
  • 64) 0,165 945 466 88 × 2 = 0 + 0,331 890 933 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 009 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 009 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 009 86(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100 =

0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100


Numărul zecimal -0,000 282 009 86 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 0111 0010 0000 0011 0111 1010 1100 1110 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 008 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100