-0,000 282 010 08 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 010 08(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 010 08(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 010 08| = 0,000 282 010 08


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 010 08.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 010 08 × 2 = 0 + 0,000 564 020 16;
  • 2) 0,000 564 020 16 × 2 = 0 + 0,001 128 040 32;
  • 3) 0,001 128 040 32 × 2 = 0 + 0,002 256 080 64;
  • 4) 0,002 256 080 64 × 2 = 0 + 0,004 512 161 28;
  • 5) 0,004 512 161 28 × 2 = 0 + 0,009 024 322 56;
  • 6) 0,009 024 322 56 × 2 = 0 + 0,018 048 645 12;
  • 7) 0,018 048 645 12 × 2 = 0 + 0,036 097 290 24;
  • 8) 0,036 097 290 24 × 2 = 0 + 0,072 194 580 48;
  • 9) 0,072 194 580 48 × 2 = 0 + 0,144 389 160 96;
  • 10) 0,144 389 160 96 × 2 = 0 + 0,288 778 321 92;
  • 11) 0,288 778 321 92 × 2 = 0 + 0,577 556 643 84;
  • 12) 0,577 556 643 84 × 2 = 1 + 0,155 113 287 68;
  • 13) 0,155 113 287 68 × 2 = 0 + 0,310 226 575 36;
  • 14) 0,310 226 575 36 × 2 = 0 + 0,620 453 150 72;
  • 15) 0,620 453 150 72 × 2 = 1 + 0,240 906 301 44;
  • 16) 0,240 906 301 44 × 2 = 0 + 0,481 812 602 88;
  • 17) 0,481 812 602 88 × 2 = 0 + 0,963 625 205 76;
  • 18) 0,963 625 205 76 × 2 = 1 + 0,927 250 411 52;
  • 19) 0,927 250 411 52 × 2 = 1 + 0,854 500 823 04;
  • 20) 0,854 500 823 04 × 2 = 1 + 0,709 001 646 08;
  • 21) 0,709 001 646 08 × 2 = 1 + 0,418 003 292 16;
  • 22) 0,418 003 292 16 × 2 = 0 + 0,836 006 584 32;
  • 23) 0,836 006 584 32 × 2 = 1 + 0,672 013 168 64;
  • 24) 0,672 013 168 64 × 2 = 1 + 0,344 026 337 28;
  • 25) 0,344 026 337 28 × 2 = 0 + 0,688 052 674 56;
  • 26) 0,688 052 674 56 × 2 = 1 + 0,376 105 349 12;
  • 27) 0,376 105 349 12 × 2 = 0 + 0,752 210 698 24;
  • 28) 0,752 210 698 24 × 2 = 1 + 0,504 421 396 48;
  • 29) 0,504 421 396 48 × 2 = 1 + 0,008 842 792 96;
  • 30) 0,008 842 792 96 × 2 = 0 + 0,017 685 585 92;
  • 31) 0,017 685 585 92 × 2 = 0 + 0,035 371 171 84;
  • 32) 0,035 371 171 84 × 2 = 0 + 0,070 742 343 68;
  • 33) 0,070 742 343 68 × 2 = 0 + 0,141 484 687 36;
  • 34) 0,141 484 687 36 × 2 = 0 + 0,282 969 374 72;
  • 35) 0,282 969 374 72 × 2 = 0 + 0,565 938 749 44;
  • 36) 0,565 938 749 44 × 2 = 1 + 0,131 877 498 88;
  • 37) 0,131 877 498 88 × 2 = 0 + 0,263 754 997 76;
  • 38) 0,263 754 997 76 × 2 = 0 + 0,527 509 995 52;
  • 39) 0,527 509 995 52 × 2 = 1 + 0,055 019 991 04;
  • 40) 0,055 019 991 04 × 2 = 0 + 0,110 039 982 08;
  • 41) 0,110 039 982 08 × 2 = 0 + 0,220 079 964 16;
  • 42) 0,220 079 964 16 × 2 = 0 + 0,440 159 928 32;
  • 43) 0,440 159 928 32 × 2 = 0 + 0,880 319 856 64;
  • 44) 0,880 319 856 64 × 2 = 1 + 0,760 639 713 28;
  • 45) 0,760 639 713 28 × 2 = 1 + 0,521 279 426 56;
  • 46) 0,521 279 426 56 × 2 = 1 + 0,042 558 853 12;
  • 47) 0,042 558 853 12 × 2 = 0 + 0,085 117 706 24;
  • 48) 0,085 117 706 24 × 2 = 0 + 0,170 235 412 48;
  • 49) 0,170 235 412 48 × 2 = 0 + 0,340 470 824 96;
  • 50) 0,340 470 824 96 × 2 = 0 + 0,680 941 649 92;
  • 51) 0,680 941 649 92 × 2 = 1 + 0,361 883 299 84;
  • 52) 0,361 883 299 84 × 2 = 0 + 0,723 766 599 68;
  • 53) 0,723 766 599 68 × 2 = 1 + 0,447 533 199 36;
  • 54) 0,447 533 199 36 × 2 = 0 + 0,895 066 398 72;
  • 55) 0,895 066 398 72 × 2 = 1 + 0,790 132 797 44;
  • 56) 0,790 132 797 44 × 2 = 1 + 0,580 265 594 88;
  • 57) 0,580 265 594 88 × 2 = 1 + 0,160 531 189 76;
  • 58) 0,160 531 189 76 × 2 = 0 + 0,321 062 379 52;
  • 59) 0,321 062 379 52 × 2 = 0 + 0,642 124 759 04;
  • 60) 0,642 124 759 04 × 2 = 1 + 0,284 249 518 08;
  • 61) 0,284 249 518 08 × 2 = 0 + 0,568 499 036 16;
  • 62) 0,568 499 036 16 × 2 = 1 + 0,136 998 072 32;
  • 63) 0,136 998 072 32 × 2 = 0 + 0,273 996 144 64;
  • 64) 0,273 996 144 64 × 2 = 0 + 0,547 992 289 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 010 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 010 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 010 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100 =

0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100


Numărul zecimal -0,000 282 010 08 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1000 0001 0010 0001 1100 0010 1011 1001 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 36 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100