-0,000 282 010 13 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 010 13(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 010 13(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 010 13| = 0,000 282 010 13


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 010 13.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 010 13 × 2 = 0 + 0,000 564 020 26;
  • 2) 0,000 564 020 26 × 2 = 0 + 0,001 128 040 52;
  • 3) 0,001 128 040 52 × 2 = 0 + 0,002 256 081 04;
  • 4) 0,002 256 081 04 × 2 = 0 + 0,004 512 162 08;
  • 5) 0,004 512 162 08 × 2 = 0 + 0,009 024 324 16;
  • 6) 0,009 024 324 16 × 2 = 0 + 0,018 048 648 32;
  • 7) 0,018 048 648 32 × 2 = 0 + 0,036 097 296 64;
  • 8) 0,036 097 296 64 × 2 = 0 + 0,072 194 593 28;
  • 9) 0,072 194 593 28 × 2 = 0 + 0,144 389 186 56;
  • 10) 0,144 389 186 56 × 2 = 0 + 0,288 778 373 12;
  • 11) 0,288 778 373 12 × 2 = 0 + 0,577 556 746 24;
  • 12) 0,577 556 746 24 × 2 = 1 + 0,155 113 492 48;
  • 13) 0,155 113 492 48 × 2 = 0 + 0,310 226 984 96;
  • 14) 0,310 226 984 96 × 2 = 0 + 0,620 453 969 92;
  • 15) 0,620 453 969 92 × 2 = 1 + 0,240 907 939 84;
  • 16) 0,240 907 939 84 × 2 = 0 + 0,481 815 879 68;
  • 17) 0,481 815 879 68 × 2 = 0 + 0,963 631 759 36;
  • 18) 0,963 631 759 36 × 2 = 1 + 0,927 263 518 72;
  • 19) 0,927 263 518 72 × 2 = 1 + 0,854 527 037 44;
  • 20) 0,854 527 037 44 × 2 = 1 + 0,709 054 074 88;
  • 21) 0,709 054 074 88 × 2 = 1 + 0,418 108 149 76;
  • 22) 0,418 108 149 76 × 2 = 0 + 0,836 216 299 52;
  • 23) 0,836 216 299 52 × 2 = 1 + 0,672 432 599 04;
  • 24) 0,672 432 599 04 × 2 = 1 + 0,344 865 198 08;
  • 25) 0,344 865 198 08 × 2 = 0 + 0,689 730 396 16;
  • 26) 0,689 730 396 16 × 2 = 1 + 0,379 460 792 32;
  • 27) 0,379 460 792 32 × 2 = 0 + 0,758 921 584 64;
  • 28) 0,758 921 584 64 × 2 = 1 + 0,517 843 169 28;
  • 29) 0,517 843 169 28 × 2 = 1 + 0,035 686 338 56;
  • 30) 0,035 686 338 56 × 2 = 0 + 0,071 372 677 12;
  • 31) 0,071 372 677 12 × 2 = 0 + 0,142 745 354 24;
  • 32) 0,142 745 354 24 × 2 = 0 + 0,285 490 708 48;
  • 33) 0,285 490 708 48 × 2 = 0 + 0,570 981 416 96;
  • 34) 0,570 981 416 96 × 2 = 1 + 0,141 962 833 92;
  • 35) 0,141 962 833 92 × 2 = 0 + 0,283 925 667 84;
  • 36) 0,283 925 667 84 × 2 = 0 + 0,567 851 335 68;
  • 37) 0,567 851 335 68 × 2 = 1 + 0,135 702 671 36;
  • 38) 0,135 702 671 36 × 2 = 0 + 0,271 405 342 72;
  • 39) 0,271 405 342 72 × 2 = 0 + 0,542 810 685 44;
  • 40) 0,542 810 685 44 × 2 = 1 + 0,085 621 370 88;
  • 41) 0,085 621 370 88 × 2 = 0 + 0,171 242 741 76;
  • 42) 0,171 242 741 76 × 2 = 0 + 0,342 485 483 52;
  • 43) 0,342 485 483 52 × 2 = 0 + 0,684 970 967 04;
  • 44) 0,684 970 967 04 × 2 = 1 + 0,369 941 934 08;
  • 45) 0,369 941 934 08 × 2 = 0 + 0,739 883 868 16;
  • 46) 0,739 883 868 16 × 2 = 1 + 0,479 767 736 32;
  • 47) 0,479 767 736 32 × 2 = 0 + 0,959 535 472 64;
  • 48) 0,959 535 472 64 × 2 = 1 + 0,919 070 945 28;
  • 49) 0,919 070 945 28 × 2 = 1 + 0,838 141 890 56;
  • 50) 0,838 141 890 56 × 2 = 1 + 0,676 283 781 12;
  • 51) 0,676 283 781 12 × 2 = 1 + 0,352 567 562 24;
  • 52) 0,352 567 562 24 × 2 = 0 + 0,705 135 124 48;
  • 53) 0,705 135 124 48 × 2 = 1 + 0,410 270 248 96;
  • 54) 0,410 270 248 96 × 2 = 0 + 0,820 540 497 92;
  • 55) 0,820 540 497 92 × 2 = 1 + 0,641 080 995 84;
  • 56) 0,641 080 995 84 × 2 = 1 + 0,282 161 991 68;
  • 57) 0,282 161 991 68 × 2 = 0 + 0,564 323 983 36;
  • 58) 0,564 323 983 36 × 2 = 1 + 0,128 647 966 72;
  • 59) 0,128 647 966 72 × 2 = 0 + 0,257 295 933 44;
  • 60) 0,257 295 933 44 × 2 = 0 + 0,514 591 866 88;
  • 61) 0,514 591 866 88 × 2 = 1 + 0,029 183 733 76;
  • 62) 0,029 183 733 76 × 2 = 0 + 0,058 367 467 52;
  • 63) 0,058 367 467 52 × 2 = 0 + 0,116 734 935 04;
  • 64) 0,116 734 935 04 × 2 = 0 + 0,233 469 870 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 010 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 010 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 010 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000 =

0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000


Numărul zecimal -0,000 282 010 13 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1000 0100 1001 0001 0101 1110 1011 0100 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 011 13 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100