-0,000 282 010 78 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 010 78(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 010 78(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 010 78| = 0,000 282 010 78


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 010 78.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 010 78 × 2 = 0 + 0,000 564 021 56;
  • 2) 0,000 564 021 56 × 2 = 0 + 0,001 128 043 12;
  • 3) 0,001 128 043 12 × 2 = 0 + 0,002 256 086 24;
  • 4) 0,002 256 086 24 × 2 = 0 + 0,004 512 172 48;
  • 5) 0,004 512 172 48 × 2 = 0 + 0,009 024 344 96;
  • 6) 0,009 024 344 96 × 2 = 0 + 0,018 048 689 92;
  • 7) 0,018 048 689 92 × 2 = 0 + 0,036 097 379 84;
  • 8) 0,036 097 379 84 × 2 = 0 + 0,072 194 759 68;
  • 9) 0,072 194 759 68 × 2 = 0 + 0,144 389 519 36;
  • 10) 0,144 389 519 36 × 2 = 0 + 0,288 779 038 72;
  • 11) 0,288 779 038 72 × 2 = 0 + 0,577 558 077 44;
  • 12) 0,577 558 077 44 × 2 = 1 + 0,155 116 154 88;
  • 13) 0,155 116 154 88 × 2 = 0 + 0,310 232 309 76;
  • 14) 0,310 232 309 76 × 2 = 0 + 0,620 464 619 52;
  • 15) 0,620 464 619 52 × 2 = 1 + 0,240 929 239 04;
  • 16) 0,240 929 239 04 × 2 = 0 + 0,481 858 478 08;
  • 17) 0,481 858 478 08 × 2 = 0 + 0,963 716 956 16;
  • 18) 0,963 716 956 16 × 2 = 1 + 0,927 433 912 32;
  • 19) 0,927 433 912 32 × 2 = 1 + 0,854 867 824 64;
  • 20) 0,854 867 824 64 × 2 = 1 + 0,709 735 649 28;
  • 21) 0,709 735 649 28 × 2 = 1 + 0,419 471 298 56;
  • 22) 0,419 471 298 56 × 2 = 0 + 0,838 942 597 12;
  • 23) 0,838 942 597 12 × 2 = 1 + 0,677 885 194 24;
  • 24) 0,677 885 194 24 × 2 = 1 + 0,355 770 388 48;
  • 25) 0,355 770 388 48 × 2 = 0 + 0,711 540 776 96;
  • 26) 0,711 540 776 96 × 2 = 1 + 0,423 081 553 92;
  • 27) 0,423 081 553 92 × 2 = 0 + 0,846 163 107 84;
  • 28) 0,846 163 107 84 × 2 = 1 + 0,692 326 215 68;
  • 29) 0,692 326 215 68 × 2 = 1 + 0,384 652 431 36;
  • 30) 0,384 652 431 36 × 2 = 0 + 0,769 304 862 72;
  • 31) 0,769 304 862 72 × 2 = 1 + 0,538 609 725 44;
  • 32) 0,538 609 725 44 × 2 = 1 + 0,077 219 450 88;
  • 33) 0,077 219 450 88 × 2 = 0 + 0,154 438 901 76;
  • 34) 0,154 438 901 76 × 2 = 0 + 0,308 877 803 52;
  • 35) 0,308 877 803 52 × 2 = 0 + 0,617 755 607 04;
  • 36) 0,617 755 607 04 × 2 = 1 + 0,235 511 214 08;
  • 37) 0,235 511 214 08 × 2 = 0 + 0,471 022 428 16;
  • 38) 0,471 022 428 16 × 2 = 0 + 0,942 044 856 32;
  • 39) 0,942 044 856 32 × 2 = 1 + 0,884 089 712 64;
  • 40) 0,884 089 712 64 × 2 = 1 + 0,768 179 425 28;
  • 41) 0,768 179 425 28 × 2 = 1 + 0,536 358 850 56;
  • 42) 0,536 358 850 56 × 2 = 1 + 0,072 717 701 12;
  • 43) 0,072 717 701 12 × 2 = 0 + 0,145 435 402 24;
  • 44) 0,145 435 402 24 × 2 = 0 + 0,290 870 804 48;
  • 45) 0,290 870 804 48 × 2 = 0 + 0,581 741 608 96;
  • 46) 0,581 741 608 96 × 2 = 1 + 0,163 483 217 92;
  • 47) 0,163 483 217 92 × 2 = 0 + 0,326 966 435 84;
  • 48) 0,326 966 435 84 × 2 = 0 + 0,653 932 871 68;
  • 49) 0,653 932 871 68 × 2 = 1 + 0,307 865 743 36;
  • 50) 0,307 865 743 36 × 2 = 0 + 0,615 731 486 72;
  • 51) 0,615 731 486 72 × 2 = 1 + 0,231 462 973 44;
  • 52) 0,231 462 973 44 × 2 = 0 + 0,462 925 946 88;
  • 53) 0,462 925 946 88 × 2 = 0 + 0,925 851 893 76;
  • 54) 0,925 851 893 76 × 2 = 1 + 0,851 703 787 52;
  • 55) 0,851 703 787 52 × 2 = 1 + 0,703 407 575 04;
  • 56) 0,703 407 575 04 × 2 = 1 + 0,406 815 150 08;
  • 57) 0,406 815 150 08 × 2 = 0 + 0,813 630 300 16;
  • 58) 0,813 630 300 16 × 2 = 1 + 0,627 260 600 32;
  • 59) 0,627 260 600 32 × 2 = 1 + 0,254 521 200 64;
  • 60) 0,254 521 200 64 × 2 = 0 + 0,509 042 401 28;
  • 61) 0,509 042 401 28 × 2 = 1 + 0,018 084 802 56;
  • 62) 0,018 084 802 56 × 2 = 0 + 0,036 169 605 12;
  • 63) 0,036 169 605 12 × 2 = 0 + 0,072 339 210 24;
  • 64) 0,072 339 210 24 × 2 = 0 + 0,144 678 420 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 010 78(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 010 78(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 010 78(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000 =

0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000


Numărul zecimal -0,000 282 010 78 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1011 0001 0011 1100 0100 1010 0111 0110 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 82 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100