-0,000 282 010 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 010 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 010 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 010 8| = 0,000 282 010 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 010 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 010 8 × 2 = 0 + 0,000 564 021 6;
  • 2) 0,000 564 021 6 × 2 = 0 + 0,001 128 043 2;
  • 3) 0,001 128 043 2 × 2 = 0 + 0,002 256 086 4;
  • 4) 0,002 256 086 4 × 2 = 0 + 0,004 512 172 8;
  • 5) 0,004 512 172 8 × 2 = 0 + 0,009 024 345 6;
  • 6) 0,009 024 345 6 × 2 = 0 + 0,018 048 691 2;
  • 7) 0,018 048 691 2 × 2 = 0 + 0,036 097 382 4;
  • 8) 0,036 097 382 4 × 2 = 0 + 0,072 194 764 8;
  • 9) 0,072 194 764 8 × 2 = 0 + 0,144 389 529 6;
  • 10) 0,144 389 529 6 × 2 = 0 + 0,288 779 059 2;
  • 11) 0,288 779 059 2 × 2 = 0 + 0,577 558 118 4;
  • 12) 0,577 558 118 4 × 2 = 1 + 0,155 116 236 8;
  • 13) 0,155 116 236 8 × 2 = 0 + 0,310 232 473 6;
  • 14) 0,310 232 473 6 × 2 = 0 + 0,620 464 947 2;
  • 15) 0,620 464 947 2 × 2 = 1 + 0,240 929 894 4;
  • 16) 0,240 929 894 4 × 2 = 0 + 0,481 859 788 8;
  • 17) 0,481 859 788 8 × 2 = 0 + 0,963 719 577 6;
  • 18) 0,963 719 577 6 × 2 = 1 + 0,927 439 155 2;
  • 19) 0,927 439 155 2 × 2 = 1 + 0,854 878 310 4;
  • 20) 0,854 878 310 4 × 2 = 1 + 0,709 756 620 8;
  • 21) 0,709 756 620 8 × 2 = 1 + 0,419 513 241 6;
  • 22) 0,419 513 241 6 × 2 = 0 + 0,839 026 483 2;
  • 23) 0,839 026 483 2 × 2 = 1 + 0,678 052 966 4;
  • 24) 0,678 052 966 4 × 2 = 1 + 0,356 105 932 8;
  • 25) 0,356 105 932 8 × 2 = 0 + 0,712 211 865 6;
  • 26) 0,712 211 865 6 × 2 = 1 + 0,424 423 731 2;
  • 27) 0,424 423 731 2 × 2 = 0 + 0,848 847 462 4;
  • 28) 0,848 847 462 4 × 2 = 1 + 0,697 694 924 8;
  • 29) 0,697 694 924 8 × 2 = 1 + 0,395 389 849 6;
  • 30) 0,395 389 849 6 × 2 = 0 + 0,790 779 699 2;
  • 31) 0,790 779 699 2 × 2 = 1 + 0,581 559 398 4;
  • 32) 0,581 559 398 4 × 2 = 1 + 0,163 118 796 8;
  • 33) 0,163 118 796 8 × 2 = 0 + 0,326 237 593 6;
  • 34) 0,326 237 593 6 × 2 = 0 + 0,652 475 187 2;
  • 35) 0,652 475 187 2 × 2 = 1 + 0,304 950 374 4;
  • 36) 0,304 950 374 4 × 2 = 0 + 0,609 900 748 8;
  • 37) 0,609 900 748 8 × 2 = 1 + 0,219 801 497 6;
  • 38) 0,219 801 497 6 × 2 = 0 + 0,439 602 995 2;
  • 39) 0,439 602 995 2 × 2 = 0 + 0,879 205 990 4;
  • 40) 0,879 205 990 4 × 2 = 1 + 0,758 411 980 8;
  • 41) 0,758 411 980 8 × 2 = 1 + 0,516 823 961 6;
  • 42) 0,516 823 961 6 × 2 = 1 + 0,033 647 923 2;
  • 43) 0,033 647 923 2 × 2 = 0 + 0,067 295 846 4;
  • 44) 0,067 295 846 4 × 2 = 0 + 0,134 591 692 8;
  • 45) 0,134 591 692 8 × 2 = 0 + 0,269 183 385 6;
  • 46) 0,269 183 385 6 × 2 = 0 + 0,538 366 771 2;
  • 47) 0,538 366 771 2 × 2 = 1 + 0,076 733 542 4;
  • 48) 0,076 733 542 4 × 2 = 0 + 0,153 467 084 8;
  • 49) 0,153 467 084 8 × 2 = 0 + 0,306 934 169 6;
  • 50) 0,306 934 169 6 × 2 = 0 + 0,613 868 339 2;
  • 51) 0,613 868 339 2 × 2 = 1 + 0,227 736 678 4;
  • 52) 0,227 736 678 4 × 2 = 0 + 0,455 473 356 8;
  • 53) 0,455 473 356 8 × 2 = 0 + 0,910 946 713 6;
  • 54) 0,910 946 713 6 × 2 = 1 + 0,821 893 427 2;
  • 55) 0,821 893 427 2 × 2 = 1 + 0,643 786 854 4;
  • 56) 0,643 786 854 4 × 2 = 1 + 0,287 573 708 8;
  • 57) 0,287 573 708 8 × 2 = 0 + 0,575 147 417 6;
  • 58) 0,575 147 417 6 × 2 = 1 + 0,150 294 835 2;
  • 59) 0,150 294 835 2 × 2 = 0 + 0,300 589 670 4;
  • 60) 0,300 589 670 4 × 2 = 0 + 0,601 179 340 8;
  • 61) 0,601 179 340 8 × 2 = 1 + 0,202 358 681 6;
  • 62) 0,202 358 681 6 × 2 = 0 + 0,404 717 363 2;
  • 63) 0,404 717 363 2 × 2 = 0 + 0,809 434 726 4;
  • 64) 0,809 434 726 4 × 2 = 1 + 0,618 869 452 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 010 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 010 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 010 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001 =

0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001


Numărul zecimal -0,000 282 010 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1011 0010 1001 1100 0010 0010 0111 0100 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 007 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100