-0,000 282 010 85 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 010 85(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 010 85(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 010 85| = 0,000 282 010 85


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 010 85.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 010 85 × 2 = 0 + 0,000 564 021 7;
  • 2) 0,000 564 021 7 × 2 = 0 + 0,001 128 043 4;
  • 3) 0,001 128 043 4 × 2 = 0 + 0,002 256 086 8;
  • 4) 0,002 256 086 8 × 2 = 0 + 0,004 512 173 6;
  • 5) 0,004 512 173 6 × 2 = 0 + 0,009 024 347 2;
  • 6) 0,009 024 347 2 × 2 = 0 + 0,018 048 694 4;
  • 7) 0,018 048 694 4 × 2 = 0 + 0,036 097 388 8;
  • 8) 0,036 097 388 8 × 2 = 0 + 0,072 194 777 6;
  • 9) 0,072 194 777 6 × 2 = 0 + 0,144 389 555 2;
  • 10) 0,144 389 555 2 × 2 = 0 + 0,288 779 110 4;
  • 11) 0,288 779 110 4 × 2 = 0 + 0,577 558 220 8;
  • 12) 0,577 558 220 8 × 2 = 1 + 0,155 116 441 6;
  • 13) 0,155 116 441 6 × 2 = 0 + 0,310 232 883 2;
  • 14) 0,310 232 883 2 × 2 = 0 + 0,620 465 766 4;
  • 15) 0,620 465 766 4 × 2 = 1 + 0,240 931 532 8;
  • 16) 0,240 931 532 8 × 2 = 0 + 0,481 863 065 6;
  • 17) 0,481 863 065 6 × 2 = 0 + 0,963 726 131 2;
  • 18) 0,963 726 131 2 × 2 = 1 + 0,927 452 262 4;
  • 19) 0,927 452 262 4 × 2 = 1 + 0,854 904 524 8;
  • 20) 0,854 904 524 8 × 2 = 1 + 0,709 809 049 6;
  • 21) 0,709 809 049 6 × 2 = 1 + 0,419 618 099 2;
  • 22) 0,419 618 099 2 × 2 = 0 + 0,839 236 198 4;
  • 23) 0,839 236 198 4 × 2 = 1 + 0,678 472 396 8;
  • 24) 0,678 472 396 8 × 2 = 1 + 0,356 944 793 6;
  • 25) 0,356 944 793 6 × 2 = 0 + 0,713 889 587 2;
  • 26) 0,713 889 587 2 × 2 = 1 + 0,427 779 174 4;
  • 27) 0,427 779 174 4 × 2 = 0 + 0,855 558 348 8;
  • 28) 0,855 558 348 8 × 2 = 1 + 0,711 116 697 6;
  • 29) 0,711 116 697 6 × 2 = 1 + 0,422 233 395 2;
  • 30) 0,422 233 395 2 × 2 = 0 + 0,844 466 790 4;
  • 31) 0,844 466 790 4 × 2 = 1 + 0,688 933 580 8;
  • 32) 0,688 933 580 8 × 2 = 1 + 0,377 867 161 6;
  • 33) 0,377 867 161 6 × 2 = 0 + 0,755 734 323 2;
  • 34) 0,755 734 323 2 × 2 = 1 + 0,511 468 646 4;
  • 35) 0,511 468 646 4 × 2 = 1 + 0,022 937 292 8;
  • 36) 0,022 937 292 8 × 2 = 0 + 0,045 874 585 6;
  • 37) 0,045 874 585 6 × 2 = 0 + 0,091 749 171 2;
  • 38) 0,091 749 171 2 × 2 = 0 + 0,183 498 342 4;
  • 39) 0,183 498 342 4 × 2 = 0 + 0,366 996 684 8;
  • 40) 0,366 996 684 8 × 2 = 0 + 0,733 993 369 6;
  • 41) 0,733 993 369 6 × 2 = 1 + 0,467 986 739 2;
  • 42) 0,467 986 739 2 × 2 = 0 + 0,935 973 478 4;
  • 43) 0,935 973 478 4 × 2 = 1 + 0,871 946 956 8;
  • 44) 0,871 946 956 8 × 2 = 1 + 0,743 893 913 6;
  • 45) 0,743 893 913 6 × 2 = 1 + 0,487 787 827 2;
  • 46) 0,487 787 827 2 × 2 = 0 + 0,975 575 654 4;
  • 47) 0,975 575 654 4 × 2 = 1 + 0,951 151 308 8;
  • 48) 0,951 151 308 8 × 2 = 1 + 0,902 302 617 6;
  • 49) 0,902 302 617 6 × 2 = 1 + 0,804 605 235 2;
  • 50) 0,804 605 235 2 × 2 = 1 + 0,609 210 470 4;
  • 51) 0,609 210 470 4 × 2 = 1 + 0,218 420 940 8;
  • 52) 0,218 420 940 8 × 2 = 0 + 0,436 841 881 6;
  • 53) 0,436 841 881 6 × 2 = 0 + 0,873 683 763 2;
  • 54) 0,873 683 763 2 × 2 = 1 + 0,747 367 526 4;
  • 55) 0,747 367 526 4 × 2 = 1 + 0,494 735 052 8;
  • 56) 0,494 735 052 8 × 2 = 0 + 0,989 470 105 6;
  • 57) 0,989 470 105 6 × 2 = 1 + 0,978 940 211 2;
  • 58) 0,978 940 211 2 × 2 = 1 + 0,957 880 422 4;
  • 59) 0,957 880 422 4 × 2 = 1 + 0,915 760 844 8;
  • 60) 0,915 760 844 8 × 2 = 1 + 0,831 521 689 6;
  • 61) 0,831 521 689 6 × 2 = 1 + 0,663 043 379 2;
  • 62) 0,663 043 379 2 × 2 = 1 + 0,326 086 758 4;
  • 63) 0,326 086 758 4 × 2 = 0 + 0,652 173 516 8;
  • 64) 0,652 173 516 8 × 2 = 1 + 0,304 347 033 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 010 85(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 010 85(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 010 85(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101 =

0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 010 85 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1011 0110 0000 1011 1011 1110 0110 1111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100