-0,000 282 011 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 011 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 011 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 011 04| = 0,000 282 011 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 011 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 011 04 × 2 = 0 + 0,000 564 022 08;
  • 2) 0,000 564 022 08 × 2 = 0 + 0,001 128 044 16;
  • 3) 0,001 128 044 16 × 2 = 0 + 0,002 256 088 32;
  • 4) 0,002 256 088 32 × 2 = 0 + 0,004 512 176 64;
  • 5) 0,004 512 176 64 × 2 = 0 + 0,009 024 353 28;
  • 6) 0,009 024 353 28 × 2 = 0 + 0,018 048 706 56;
  • 7) 0,018 048 706 56 × 2 = 0 + 0,036 097 413 12;
  • 8) 0,036 097 413 12 × 2 = 0 + 0,072 194 826 24;
  • 9) 0,072 194 826 24 × 2 = 0 + 0,144 389 652 48;
  • 10) 0,144 389 652 48 × 2 = 0 + 0,288 779 304 96;
  • 11) 0,288 779 304 96 × 2 = 0 + 0,577 558 609 92;
  • 12) 0,577 558 609 92 × 2 = 1 + 0,155 117 219 84;
  • 13) 0,155 117 219 84 × 2 = 0 + 0,310 234 439 68;
  • 14) 0,310 234 439 68 × 2 = 0 + 0,620 468 879 36;
  • 15) 0,620 468 879 36 × 2 = 1 + 0,240 937 758 72;
  • 16) 0,240 937 758 72 × 2 = 0 + 0,481 875 517 44;
  • 17) 0,481 875 517 44 × 2 = 0 + 0,963 751 034 88;
  • 18) 0,963 751 034 88 × 2 = 1 + 0,927 502 069 76;
  • 19) 0,927 502 069 76 × 2 = 1 + 0,855 004 139 52;
  • 20) 0,855 004 139 52 × 2 = 1 + 0,710 008 279 04;
  • 21) 0,710 008 279 04 × 2 = 1 + 0,420 016 558 08;
  • 22) 0,420 016 558 08 × 2 = 0 + 0,840 033 116 16;
  • 23) 0,840 033 116 16 × 2 = 1 + 0,680 066 232 32;
  • 24) 0,680 066 232 32 × 2 = 1 + 0,360 132 464 64;
  • 25) 0,360 132 464 64 × 2 = 0 + 0,720 264 929 28;
  • 26) 0,720 264 929 28 × 2 = 1 + 0,440 529 858 56;
  • 27) 0,440 529 858 56 × 2 = 0 + 0,881 059 717 12;
  • 28) 0,881 059 717 12 × 2 = 1 + 0,762 119 434 24;
  • 29) 0,762 119 434 24 × 2 = 1 + 0,524 238 868 48;
  • 30) 0,524 238 868 48 × 2 = 1 + 0,048 477 736 96;
  • 31) 0,048 477 736 96 × 2 = 0 + 0,096 955 473 92;
  • 32) 0,096 955 473 92 × 2 = 0 + 0,193 910 947 84;
  • 33) 0,193 910 947 84 × 2 = 0 + 0,387 821 895 68;
  • 34) 0,387 821 895 68 × 2 = 0 + 0,775 643 791 36;
  • 35) 0,775 643 791 36 × 2 = 1 + 0,551 287 582 72;
  • 36) 0,551 287 582 72 × 2 = 1 + 0,102 575 165 44;
  • 37) 0,102 575 165 44 × 2 = 0 + 0,205 150 330 88;
  • 38) 0,205 150 330 88 × 2 = 0 + 0,410 300 661 76;
  • 39) 0,410 300 661 76 × 2 = 0 + 0,820 601 323 52;
  • 40) 0,820 601 323 52 × 2 = 1 + 0,641 202 647 04;
  • 41) 0,641 202 647 04 × 2 = 1 + 0,282 405 294 08;
  • 42) 0,282 405 294 08 × 2 = 0 + 0,564 810 588 16;
  • 43) 0,564 810 588 16 × 2 = 1 + 0,129 621 176 32;
  • 44) 0,129 621 176 32 × 2 = 0 + 0,259 242 352 64;
  • 45) 0,259 242 352 64 × 2 = 0 + 0,518 484 705 28;
  • 46) 0,518 484 705 28 × 2 = 1 + 0,036 969 410 56;
  • 47) 0,036 969 410 56 × 2 = 0 + 0,073 938 821 12;
  • 48) 0,073 938 821 12 × 2 = 0 + 0,147 877 642 24;
  • 49) 0,147 877 642 24 × 2 = 0 + 0,295 755 284 48;
  • 50) 0,295 755 284 48 × 2 = 0 + 0,591 510 568 96;
  • 51) 0,591 510 568 96 × 2 = 1 + 0,183 021 137 92;
  • 52) 0,183 021 137 92 × 2 = 0 + 0,366 042 275 84;
  • 53) 0,366 042 275 84 × 2 = 0 + 0,732 084 551 68;
  • 54) 0,732 084 551 68 × 2 = 1 + 0,464 169 103 36;
  • 55) 0,464 169 103 36 × 2 = 0 + 0,928 338 206 72;
  • 56) 0,928 338 206 72 × 2 = 1 + 0,856 676 413 44;
  • 57) 0,856 676 413 44 × 2 = 1 + 0,713 352 826 88;
  • 58) 0,713 352 826 88 × 2 = 1 + 0,426 705 653 76;
  • 59) 0,426 705 653 76 × 2 = 0 + 0,853 411 307 52;
  • 60) 0,853 411 307 52 × 2 = 1 + 0,706 822 615 04;
  • 61) 0,706 822 615 04 × 2 = 1 + 0,413 645 230 08;
  • 62) 0,413 645 230 08 × 2 = 0 + 0,827 290 460 16;
  • 63) 0,827 290 460 16 × 2 = 1 + 0,654 580 920 32;
  • 64) 0,654 580 920 32 × 2 = 1 + 0,309 161 840 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 011 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 011 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 011 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011 =

0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011


Numărul zecimal -0,000 282 011 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1100 0011 0001 1010 0100 0010 0101 1101 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 010 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100