-0,000 282 011 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 011 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 011 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 011 2| = 0,000 282 011 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 011 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 011 2 × 2 = 0 + 0,000 564 022 4;
  • 2) 0,000 564 022 4 × 2 = 0 + 0,001 128 044 8;
  • 3) 0,001 128 044 8 × 2 = 0 + 0,002 256 089 6;
  • 4) 0,002 256 089 6 × 2 = 0 + 0,004 512 179 2;
  • 5) 0,004 512 179 2 × 2 = 0 + 0,009 024 358 4;
  • 6) 0,009 024 358 4 × 2 = 0 + 0,018 048 716 8;
  • 7) 0,018 048 716 8 × 2 = 0 + 0,036 097 433 6;
  • 8) 0,036 097 433 6 × 2 = 0 + 0,072 194 867 2;
  • 9) 0,072 194 867 2 × 2 = 0 + 0,144 389 734 4;
  • 10) 0,144 389 734 4 × 2 = 0 + 0,288 779 468 8;
  • 11) 0,288 779 468 8 × 2 = 0 + 0,577 558 937 6;
  • 12) 0,577 558 937 6 × 2 = 1 + 0,155 117 875 2;
  • 13) 0,155 117 875 2 × 2 = 0 + 0,310 235 750 4;
  • 14) 0,310 235 750 4 × 2 = 0 + 0,620 471 500 8;
  • 15) 0,620 471 500 8 × 2 = 1 + 0,240 943 001 6;
  • 16) 0,240 943 001 6 × 2 = 0 + 0,481 886 003 2;
  • 17) 0,481 886 003 2 × 2 = 0 + 0,963 772 006 4;
  • 18) 0,963 772 006 4 × 2 = 1 + 0,927 544 012 8;
  • 19) 0,927 544 012 8 × 2 = 1 + 0,855 088 025 6;
  • 20) 0,855 088 025 6 × 2 = 1 + 0,710 176 051 2;
  • 21) 0,710 176 051 2 × 2 = 1 + 0,420 352 102 4;
  • 22) 0,420 352 102 4 × 2 = 0 + 0,840 704 204 8;
  • 23) 0,840 704 204 8 × 2 = 1 + 0,681 408 409 6;
  • 24) 0,681 408 409 6 × 2 = 1 + 0,362 816 819 2;
  • 25) 0,362 816 819 2 × 2 = 0 + 0,725 633 638 4;
  • 26) 0,725 633 638 4 × 2 = 1 + 0,451 267 276 8;
  • 27) 0,451 267 276 8 × 2 = 0 + 0,902 534 553 6;
  • 28) 0,902 534 553 6 × 2 = 1 + 0,805 069 107 2;
  • 29) 0,805 069 107 2 × 2 = 1 + 0,610 138 214 4;
  • 30) 0,610 138 214 4 × 2 = 1 + 0,220 276 428 8;
  • 31) 0,220 276 428 8 × 2 = 0 + 0,440 552 857 6;
  • 32) 0,440 552 857 6 × 2 = 0 + 0,881 105 715 2;
  • 33) 0,881 105 715 2 × 2 = 1 + 0,762 211 430 4;
  • 34) 0,762 211 430 4 × 2 = 1 + 0,524 422 860 8;
  • 35) 0,524 422 860 8 × 2 = 1 + 0,048 845 721 6;
  • 36) 0,048 845 721 6 × 2 = 0 + 0,097 691 443 2;
  • 37) 0,097 691 443 2 × 2 = 0 + 0,195 382 886 4;
  • 38) 0,195 382 886 4 × 2 = 0 + 0,390 765 772 8;
  • 39) 0,390 765 772 8 × 2 = 0 + 0,781 531 545 6;
  • 40) 0,781 531 545 6 × 2 = 1 + 0,563 063 091 2;
  • 41) 0,563 063 091 2 × 2 = 1 + 0,126 126 182 4;
  • 42) 0,126 126 182 4 × 2 = 0 + 0,252 252 364 8;
  • 43) 0,252 252 364 8 × 2 = 0 + 0,504 504 729 6;
  • 44) 0,504 504 729 6 × 2 = 1 + 0,009 009 459 2;
  • 45) 0,009 009 459 2 × 2 = 0 + 0,018 018 918 4;
  • 46) 0,018 018 918 4 × 2 = 0 + 0,036 037 836 8;
  • 47) 0,036 037 836 8 × 2 = 0 + 0,072 075 673 6;
  • 48) 0,072 075 673 6 × 2 = 0 + 0,144 151 347 2;
  • 49) 0,144 151 347 2 × 2 = 0 + 0,288 302 694 4;
  • 50) 0,288 302 694 4 × 2 = 0 + 0,576 605 388 8;
  • 51) 0,576 605 388 8 × 2 = 1 + 0,153 210 777 6;
  • 52) 0,153 210 777 6 × 2 = 0 + 0,306 421 555 2;
  • 53) 0,306 421 555 2 × 2 = 0 + 0,612 843 110 4;
  • 54) 0,612 843 110 4 × 2 = 1 + 0,225 686 220 8;
  • 55) 0,225 686 220 8 × 2 = 0 + 0,451 372 441 6;
  • 56) 0,451 372 441 6 × 2 = 0 + 0,902 744 883 2;
  • 57) 0,902 744 883 2 × 2 = 1 + 0,805 489 766 4;
  • 58) 0,805 489 766 4 × 2 = 1 + 0,610 979 532 8;
  • 59) 0,610 979 532 8 × 2 = 1 + 0,221 959 065 6;
  • 60) 0,221 959 065 6 × 2 = 0 + 0,443 918 131 2;
  • 61) 0,443 918 131 2 × 2 = 0 + 0,887 836 262 4;
  • 62) 0,887 836 262 4 × 2 = 1 + 0,775 672 524 8;
  • 63) 0,775 672 524 8 × 2 = 1 + 0,551 345 049 6;
  • 64) 0,551 345 049 6 × 2 = 1 + 0,102 690 099 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 011 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 011 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 011 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111 =

0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111


Numărul zecimal -0,000 282 011 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1100 1110 0001 1001 0000 0010 0100 1110 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 013 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100