-0,000 282 011 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 011 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 011 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 011 7| = 0,000 282 011 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 011 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 011 7 × 2 = 0 + 0,000 564 023 4;
  • 2) 0,000 564 023 4 × 2 = 0 + 0,001 128 046 8;
  • 3) 0,001 128 046 8 × 2 = 0 + 0,002 256 093 6;
  • 4) 0,002 256 093 6 × 2 = 0 + 0,004 512 187 2;
  • 5) 0,004 512 187 2 × 2 = 0 + 0,009 024 374 4;
  • 6) 0,009 024 374 4 × 2 = 0 + 0,018 048 748 8;
  • 7) 0,018 048 748 8 × 2 = 0 + 0,036 097 497 6;
  • 8) 0,036 097 497 6 × 2 = 0 + 0,072 194 995 2;
  • 9) 0,072 194 995 2 × 2 = 0 + 0,144 389 990 4;
  • 10) 0,144 389 990 4 × 2 = 0 + 0,288 779 980 8;
  • 11) 0,288 779 980 8 × 2 = 0 + 0,577 559 961 6;
  • 12) 0,577 559 961 6 × 2 = 1 + 0,155 119 923 2;
  • 13) 0,155 119 923 2 × 2 = 0 + 0,310 239 846 4;
  • 14) 0,310 239 846 4 × 2 = 0 + 0,620 479 692 8;
  • 15) 0,620 479 692 8 × 2 = 1 + 0,240 959 385 6;
  • 16) 0,240 959 385 6 × 2 = 0 + 0,481 918 771 2;
  • 17) 0,481 918 771 2 × 2 = 0 + 0,963 837 542 4;
  • 18) 0,963 837 542 4 × 2 = 1 + 0,927 675 084 8;
  • 19) 0,927 675 084 8 × 2 = 1 + 0,855 350 169 6;
  • 20) 0,855 350 169 6 × 2 = 1 + 0,710 700 339 2;
  • 21) 0,710 700 339 2 × 2 = 1 + 0,421 400 678 4;
  • 22) 0,421 400 678 4 × 2 = 0 + 0,842 801 356 8;
  • 23) 0,842 801 356 8 × 2 = 1 + 0,685 602 713 6;
  • 24) 0,685 602 713 6 × 2 = 1 + 0,371 205 427 2;
  • 25) 0,371 205 427 2 × 2 = 0 + 0,742 410 854 4;
  • 26) 0,742 410 854 4 × 2 = 1 + 0,484 821 708 8;
  • 27) 0,484 821 708 8 × 2 = 0 + 0,969 643 417 6;
  • 28) 0,969 643 417 6 × 2 = 1 + 0,939 286 835 2;
  • 29) 0,939 286 835 2 × 2 = 1 + 0,878 573 670 4;
  • 30) 0,878 573 670 4 × 2 = 1 + 0,757 147 340 8;
  • 31) 0,757 147 340 8 × 2 = 1 + 0,514 294 681 6;
  • 32) 0,514 294 681 6 × 2 = 1 + 0,028 589 363 2;
  • 33) 0,028 589 363 2 × 2 = 0 + 0,057 178 726 4;
  • 34) 0,057 178 726 4 × 2 = 0 + 0,114 357 452 8;
  • 35) 0,114 357 452 8 × 2 = 0 + 0,228 714 905 6;
  • 36) 0,228 714 905 6 × 2 = 0 + 0,457 429 811 2;
  • 37) 0,457 429 811 2 × 2 = 0 + 0,914 859 622 4;
  • 38) 0,914 859 622 4 × 2 = 1 + 0,829 719 244 8;
  • 39) 0,829 719 244 8 × 2 = 1 + 0,659 438 489 6;
  • 40) 0,659 438 489 6 × 2 = 1 + 0,318 876 979 2;
  • 41) 0,318 876 979 2 × 2 = 0 + 0,637 753 958 4;
  • 42) 0,637 753 958 4 × 2 = 1 + 0,275 507 916 8;
  • 43) 0,275 507 916 8 × 2 = 0 + 0,551 015 833 6;
  • 44) 0,551 015 833 6 × 2 = 1 + 0,102 031 667 2;
  • 45) 0,102 031 667 2 × 2 = 0 + 0,204 063 334 4;
  • 46) 0,204 063 334 4 × 2 = 0 + 0,408 126 668 8;
  • 47) 0,408 126 668 8 × 2 = 0 + 0,816 253 337 6;
  • 48) 0,816 253 337 6 × 2 = 1 + 0,632 506 675 2;
  • 49) 0,632 506 675 2 × 2 = 1 + 0,265 013 350 4;
  • 50) 0,265 013 350 4 × 2 = 0 + 0,530 026 700 8;
  • 51) 0,530 026 700 8 × 2 = 1 + 0,060 053 401 6;
  • 52) 0,060 053 401 6 × 2 = 0 + 0,120 106 803 2;
  • 53) 0,120 106 803 2 × 2 = 0 + 0,240 213 606 4;
  • 54) 0,240 213 606 4 × 2 = 0 + 0,480 427 212 8;
  • 55) 0,480 427 212 8 × 2 = 0 + 0,960 854 425 6;
  • 56) 0,960 854 425 6 × 2 = 1 + 0,921 708 851 2;
  • 57) 0,921 708 851 2 × 2 = 1 + 0,843 417 702 4;
  • 58) 0,843 417 702 4 × 2 = 1 + 0,686 835 404 8;
  • 59) 0,686 835 404 8 × 2 = 1 + 0,373 670 809 6;
  • 60) 0,373 670 809 6 × 2 = 0 + 0,747 341 619 2;
  • 61) 0,747 341 619 2 × 2 = 1 + 0,494 683 238 4;
  • 62) 0,494 683 238 4 × 2 = 0 + 0,989 366 476 8;
  • 63) 0,989 366 476 8 × 2 = 1 + 0,978 732 953 6;
  • 64) 0,978 732 953 6 × 2 = 1 + 0,957 465 907 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 011 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 011 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 011 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011 =

0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 011 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1111 0000 0111 0101 0001 1010 0001 1110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 016 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100