-0,000 282 012 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 012 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 012 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 012 2| = 0,000 282 012 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 012 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 012 2 × 2 = 0 + 0,000 564 024 4;
  • 2) 0,000 564 024 4 × 2 = 0 + 0,001 128 048 8;
  • 3) 0,001 128 048 8 × 2 = 0 + 0,002 256 097 6;
  • 4) 0,002 256 097 6 × 2 = 0 + 0,004 512 195 2;
  • 5) 0,004 512 195 2 × 2 = 0 + 0,009 024 390 4;
  • 6) 0,009 024 390 4 × 2 = 0 + 0,018 048 780 8;
  • 7) 0,018 048 780 8 × 2 = 0 + 0,036 097 561 6;
  • 8) 0,036 097 561 6 × 2 = 0 + 0,072 195 123 2;
  • 9) 0,072 195 123 2 × 2 = 0 + 0,144 390 246 4;
  • 10) 0,144 390 246 4 × 2 = 0 + 0,288 780 492 8;
  • 11) 0,288 780 492 8 × 2 = 0 + 0,577 560 985 6;
  • 12) 0,577 560 985 6 × 2 = 1 + 0,155 121 971 2;
  • 13) 0,155 121 971 2 × 2 = 0 + 0,310 243 942 4;
  • 14) 0,310 243 942 4 × 2 = 0 + 0,620 487 884 8;
  • 15) 0,620 487 884 8 × 2 = 1 + 0,240 975 769 6;
  • 16) 0,240 975 769 6 × 2 = 0 + 0,481 951 539 2;
  • 17) 0,481 951 539 2 × 2 = 0 + 0,963 903 078 4;
  • 18) 0,963 903 078 4 × 2 = 1 + 0,927 806 156 8;
  • 19) 0,927 806 156 8 × 2 = 1 + 0,855 612 313 6;
  • 20) 0,855 612 313 6 × 2 = 1 + 0,711 224 627 2;
  • 21) 0,711 224 627 2 × 2 = 1 + 0,422 449 254 4;
  • 22) 0,422 449 254 4 × 2 = 0 + 0,844 898 508 8;
  • 23) 0,844 898 508 8 × 2 = 1 + 0,689 797 017 6;
  • 24) 0,689 797 017 6 × 2 = 1 + 0,379 594 035 2;
  • 25) 0,379 594 035 2 × 2 = 0 + 0,759 188 070 4;
  • 26) 0,759 188 070 4 × 2 = 1 + 0,518 376 140 8;
  • 27) 0,518 376 140 8 × 2 = 1 + 0,036 752 281 6;
  • 28) 0,036 752 281 6 × 2 = 0 + 0,073 504 563 2;
  • 29) 0,073 504 563 2 × 2 = 0 + 0,147 009 126 4;
  • 30) 0,147 009 126 4 × 2 = 0 + 0,294 018 252 8;
  • 31) 0,294 018 252 8 × 2 = 0 + 0,588 036 505 6;
  • 32) 0,588 036 505 6 × 2 = 1 + 0,176 073 011 2;
  • 33) 0,176 073 011 2 × 2 = 0 + 0,352 146 022 4;
  • 34) 0,352 146 022 4 × 2 = 0 + 0,704 292 044 8;
  • 35) 0,704 292 044 8 × 2 = 1 + 0,408 584 089 6;
  • 36) 0,408 584 089 6 × 2 = 0 + 0,817 168 179 2;
  • 37) 0,817 168 179 2 × 2 = 1 + 0,634 336 358 4;
  • 38) 0,634 336 358 4 × 2 = 1 + 0,268 672 716 8;
  • 39) 0,268 672 716 8 × 2 = 0 + 0,537 345 433 6;
  • 40) 0,537 345 433 6 × 2 = 1 + 0,074 690 867 2;
  • 41) 0,074 690 867 2 × 2 = 0 + 0,149 381 734 4;
  • 42) 0,149 381 734 4 × 2 = 0 + 0,298 763 468 8;
  • 43) 0,298 763 468 8 × 2 = 0 + 0,597 526 937 6;
  • 44) 0,597 526 937 6 × 2 = 1 + 0,195 053 875 2;
  • 45) 0,195 053 875 2 × 2 = 0 + 0,390 107 750 4;
  • 46) 0,390 107 750 4 × 2 = 0 + 0,780 215 500 8;
  • 47) 0,780 215 500 8 × 2 = 1 + 0,560 431 001 6;
  • 48) 0,560 431 001 6 × 2 = 1 + 0,120 862 003 2;
  • 49) 0,120 862 003 2 × 2 = 0 + 0,241 724 006 4;
  • 50) 0,241 724 006 4 × 2 = 0 + 0,483 448 012 8;
  • 51) 0,483 448 012 8 × 2 = 0 + 0,966 896 025 6;
  • 52) 0,966 896 025 6 × 2 = 1 + 0,933 792 051 2;
  • 53) 0,933 792 051 2 × 2 = 1 + 0,867 584 102 4;
  • 54) 0,867 584 102 4 × 2 = 1 + 0,735 168 204 8;
  • 55) 0,735 168 204 8 × 2 = 1 + 0,470 336 409 6;
  • 56) 0,470 336 409 6 × 2 = 0 + 0,940 672 819 2;
  • 57) 0,940 672 819 2 × 2 = 1 + 0,881 345 638 4;
  • 58) 0,881 345 638 4 × 2 = 1 + 0,762 691 276 8;
  • 59) 0,762 691 276 8 × 2 = 1 + 0,525 382 553 6;
  • 60) 0,525 382 553 6 × 2 = 1 + 0,050 765 107 2;
  • 61) 0,050 765 107 2 × 2 = 0 + 0,101 530 214 4;
  • 62) 0,101 530 214 4 × 2 = 0 + 0,203 060 428 8;
  • 63) 0,203 060 428 8 × 2 = 0 + 0,406 120 857 6;
  • 64) 0,406 120 857 6 × 2 = 0 + 0,812 241 715 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 012 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 012 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 012 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000 =

0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 012 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 0001 0010 1101 0001 0011 0001 1110 1111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 018 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100