-0,000 282 012 23 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 012 23(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 012 23(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 012 23| = 0,000 282 012 23


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 012 23.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 012 23 × 2 = 0 + 0,000 564 024 46;
  • 2) 0,000 564 024 46 × 2 = 0 + 0,001 128 048 92;
  • 3) 0,001 128 048 92 × 2 = 0 + 0,002 256 097 84;
  • 4) 0,002 256 097 84 × 2 = 0 + 0,004 512 195 68;
  • 5) 0,004 512 195 68 × 2 = 0 + 0,009 024 391 36;
  • 6) 0,009 024 391 36 × 2 = 0 + 0,018 048 782 72;
  • 7) 0,018 048 782 72 × 2 = 0 + 0,036 097 565 44;
  • 8) 0,036 097 565 44 × 2 = 0 + 0,072 195 130 88;
  • 9) 0,072 195 130 88 × 2 = 0 + 0,144 390 261 76;
  • 10) 0,144 390 261 76 × 2 = 0 + 0,288 780 523 52;
  • 11) 0,288 780 523 52 × 2 = 0 + 0,577 561 047 04;
  • 12) 0,577 561 047 04 × 2 = 1 + 0,155 122 094 08;
  • 13) 0,155 122 094 08 × 2 = 0 + 0,310 244 188 16;
  • 14) 0,310 244 188 16 × 2 = 0 + 0,620 488 376 32;
  • 15) 0,620 488 376 32 × 2 = 1 + 0,240 976 752 64;
  • 16) 0,240 976 752 64 × 2 = 0 + 0,481 953 505 28;
  • 17) 0,481 953 505 28 × 2 = 0 + 0,963 907 010 56;
  • 18) 0,963 907 010 56 × 2 = 1 + 0,927 814 021 12;
  • 19) 0,927 814 021 12 × 2 = 1 + 0,855 628 042 24;
  • 20) 0,855 628 042 24 × 2 = 1 + 0,711 256 084 48;
  • 21) 0,711 256 084 48 × 2 = 1 + 0,422 512 168 96;
  • 22) 0,422 512 168 96 × 2 = 0 + 0,845 024 337 92;
  • 23) 0,845 024 337 92 × 2 = 1 + 0,690 048 675 84;
  • 24) 0,690 048 675 84 × 2 = 1 + 0,380 097 351 68;
  • 25) 0,380 097 351 68 × 2 = 0 + 0,760 194 703 36;
  • 26) 0,760 194 703 36 × 2 = 1 + 0,520 389 406 72;
  • 27) 0,520 389 406 72 × 2 = 1 + 0,040 778 813 44;
  • 28) 0,040 778 813 44 × 2 = 0 + 0,081 557 626 88;
  • 29) 0,081 557 626 88 × 2 = 0 + 0,163 115 253 76;
  • 30) 0,163 115 253 76 × 2 = 0 + 0,326 230 507 52;
  • 31) 0,326 230 507 52 × 2 = 0 + 0,652 461 015 04;
  • 32) 0,652 461 015 04 × 2 = 1 + 0,304 922 030 08;
  • 33) 0,304 922 030 08 × 2 = 0 + 0,609 844 060 16;
  • 34) 0,609 844 060 16 × 2 = 1 + 0,219 688 120 32;
  • 35) 0,219 688 120 32 × 2 = 0 + 0,439 376 240 64;
  • 36) 0,439 376 240 64 × 2 = 0 + 0,878 752 481 28;
  • 37) 0,878 752 481 28 × 2 = 1 + 0,757 504 962 56;
  • 38) 0,757 504 962 56 × 2 = 1 + 0,515 009 925 12;
  • 39) 0,515 009 925 12 × 2 = 1 + 0,030 019 850 24;
  • 40) 0,030 019 850 24 × 2 = 0 + 0,060 039 700 48;
  • 41) 0,060 039 700 48 × 2 = 0 + 0,120 079 400 96;
  • 42) 0,120 079 400 96 × 2 = 0 + 0,240 158 801 92;
  • 43) 0,240 158 801 92 × 2 = 0 + 0,480 317 603 84;
  • 44) 0,480 317 603 84 × 2 = 0 + 0,960 635 207 68;
  • 45) 0,960 635 207 68 × 2 = 1 + 0,921 270 415 36;
  • 46) 0,921 270 415 36 × 2 = 1 + 0,842 540 830 72;
  • 47) 0,842 540 830 72 × 2 = 1 + 0,685 081 661 44;
  • 48) 0,685 081 661 44 × 2 = 1 + 0,370 163 322 88;
  • 49) 0,370 163 322 88 × 2 = 0 + 0,740 326 645 76;
  • 50) 0,740 326 645 76 × 2 = 1 + 0,480 653 291 52;
  • 51) 0,480 653 291 52 × 2 = 0 + 0,961 306 583 04;
  • 52) 0,961 306 583 04 × 2 = 1 + 0,922 613 166 08;
  • 53) 0,922 613 166 08 × 2 = 1 + 0,845 226 332 16;
  • 54) 0,845 226 332 16 × 2 = 1 + 0,690 452 664 32;
  • 55) 0,690 452 664 32 × 2 = 1 + 0,380 905 328 64;
  • 56) 0,380 905 328 64 × 2 = 0 + 0,761 810 657 28;
  • 57) 0,761 810 657 28 × 2 = 1 + 0,523 621 314 56;
  • 58) 0,523 621 314 56 × 2 = 1 + 0,047 242 629 12;
  • 59) 0,047 242 629 12 × 2 = 0 + 0,094 485 258 24;
  • 60) 0,094 485 258 24 × 2 = 0 + 0,188 970 516 48;
  • 61) 0,188 970 516 48 × 2 = 0 + 0,377 941 032 96;
  • 62) 0,377 941 032 96 × 2 = 0 + 0,755 882 065 92;
  • 63) 0,755 882 065 92 × 2 = 1 + 0,511 764 131 84;
  • 64) 0,511 764 131 84 × 2 = 1 + 0,023 528 263 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 012 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 012 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 012 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011 =

0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011


Numărul zecimal -0,000 282 012 23 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 0001 0100 1110 0000 1111 0101 1110 1100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 012 67 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100