-0,000 282 012 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 012 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 012 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 012 62| = 0,000 282 012 62


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 012 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 012 62 × 2 = 0 + 0,000 564 025 24;
  • 2) 0,000 564 025 24 × 2 = 0 + 0,001 128 050 48;
  • 3) 0,001 128 050 48 × 2 = 0 + 0,002 256 100 96;
  • 4) 0,002 256 100 96 × 2 = 0 + 0,004 512 201 92;
  • 5) 0,004 512 201 92 × 2 = 0 + 0,009 024 403 84;
  • 6) 0,009 024 403 84 × 2 = 0 + 0,018 048 807 68;
  • 7) 0,018 048 807 68 × 2 = 0 + 0,036 097 615 36;
  • 8) 0,036 097 615 36 × 2 = 0 + 0,072 195 230 72;
  • 9) 0,072 195 230 72 × 2 = 0 + 0,144 390 461 44;
  • 10) 0,144 390 461 44 × 2 = 0 + 0,288 780 922 88;
  • 11) 0,288 780 922 88 × 2 = 0 + 0,577 561 845 76;
  • 12) 0,577 561 845 76 × 2 = 1 + 0,155 123 691 52;
  • 13) 0,155 123 691 52 × 2 = 0 + 0,310 247 383 04;
  • 14) 0,310 247 383 04 × 2 = 0 + 0,620 494 766 08;
  • 15) 0,620 494 766 08 × 2 = 1 + 0,240 989 532 16;
  • 16) 0,240 989 532 16 × 2 = 0 + 0,481 979 064 32;
  • 17) 0,481 979 064 32 × 2 = 0 + 0,963 958 128 64;
  • 18) 0,963 958 128 64 × 2 = 1 + 0,927 916 257 28;
  • 19) 0,927 916 257 28 × 2 = 1 + 0,855 832 514 56;
  • 20) 0,855 832 514 56 × 2 = 1 + 0,711 665 029 12;
  • 21) 0,711 665 029 12 × 2 = 1 + 0,423 330 058 24;
  • 22) 0,423 330 058 24 × 2 = 0 + 0,846 660 116 48;
  • 23) 0,846 660 116 48 × 2 = 1 + 0,693 320 232 96;
  • 24) 0,693 320 232 96 × 2 = 1 + 0,386 640 465 92;
  • 25) 0,386 640 465 92 × 2 = 0 + 0,773 280 931 84;
  • 26) 0,773 280 931 84 × 2 = 1 + 0,546 561 863 68;
  • 27) 0,546 561 863 68 × 2 = 1 + 0,093 123 727 36;
  • 28) 0,093 123 727 36 × 2 = 0 + 0,186 247 454 72;
  • 29) 0,186 247 454 72 × 2 = 0 + 0,372 494 909 44;
  • 30) 0,372 494 909 44 × 2 = 0 + 0,744 989 818 88;
  • 31) 0,744 989 818 88 × 2 = 1 + 0,489 979 637 76;
  • 32) 0,489 979 637 76 × 2 = 0 + 0,979 959 275 52;
  • 33) 0,979 959 275 52 × 2 = 1 + 0,959 918 551 04;
  • 34) 0,959 918 551 04 × 2 = 1 + 0,919 837 102 08;
  • 35) 0,919 837 102 08 × 2 = 1 + 0,839 674 204 16;
  • 36) 0,839 674 204 16 × 2 = 1 + 0,679 348 408 32;
  • 37) 0,679 348 408 32 × 2 = 1 + 0,358 696 816 64;
  • 38) 0,358 696 816 64 × 2 = 0 + 0,717 393 633 28;
  • 39) 0,717 393 633 28 × 2 = 1 + 0,434 787 266 56;
  • 40) 0,434 787 266 56 × 2 = 0 + 0,869 574 533 12;
  • 41) 0,869 574 533 12 × 2 = 1 + 0,739 149 066 24;
  • 42) 0,739 149 066 24 × 2 = 1 + 0,478 298 132 48;
  • 43) 0,478 298 132 48 × 2 = 0 + 0,956 596 264 96;
  • 44) 0,956 596 264 96 × 2 = 1 + 0,913 192 529 92;
  • 45) 0,913 192 529 92 × 2 = 1 + 0,826 385 059 84;
  • 46) 0,826 385 059 84 × 2 = 1 + 0,652 770 119 68;
  • 47) 0,652 770 119 68 × 2 = 1 + 0,305 540 239 36;
  • 48) 0,305 540 239 36 × 2 = 0 + 0,611 080 478 72;
  • 49) 0,611 080 478 72 × 2 = 1 + 0,222 160 957 44;
  • 50) 0,222 160 957 44 × 2 = 0 + 0,444 321 914 88;
  • 51) 0,444 321 914 88 × 2 = 0 + 0,888 643 829 76;
  • 52) 0,888 643 829 76 × 2 = 1 + 0,777 287 659 52;
  • 53) 0,777 287 659 52 × 2 = 1 + 0,554 575 319 04;
  • 54) 0,554 575 319 04 × 2 = 1 + 0,109 150 638 08;
  • 55) 0,109 150 638 08 × 2 = 0 + 0,218 301 276 16;
  • 56) 0,218 301 276 16 × 2 = 0 + 0,436 602 552 32;
  • 57) 0,436 602 552 32 × 2 = 0 + 0,873 205 104 64;
  • 58) 0,873 205 104 64 × 2 = 1 + 0,746 410 209 28;
  • 59) 0,746 410 209 28 × 2 = 1 + 0,492 820 418 56;
  • 60) 0,492 820 418 56 × 2 = 0 + 0,985 640 837 12;
  • 61) 0,985 640 837 12 × 2 = 1 + 0,971 281 674 24;
  • 62) 0,971 281 674 24 × 2 = 1 + 0,942 563 348 48;
  • 63) 0,942 563 348 48 × 2 = 1 + 0,885 126 696 96;
  • 64) 0,885 126 696 96 × 2 = 1 + 0,770 253 393 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 012 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 012 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 012 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111 =

0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 012 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 0010 1111 1010 1101 1110 1001 1100 0110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 013 41 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100