-0,000 282 013 12 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 013 12(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 013 12(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 013 12| = 0,000 282 013 12


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 013 12.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 013 12 × 2 = 0 + 0,000 564 026 24;
  • 2) 0,000 564 026 24 × 2 = 0 + 0,001 128 052 48;
  • 3) 0,001 128 052 48 × 2 = 0 + 0,002 256 104 96;
  • 4) 0,002 256 104 96 × 2 = 0 + 0,004 512 209 92;
  • 5) 0,004 512 209 92 × 2 = 0 + 0,009 024 419 84;
  • 6) 0,009 024 419 84 × 2 = 0 + 0,018 048 839 68;
  • 7) 0,018 048 839 68 × 2 = 0 + 0,036 097 679 36;
  • 8) 0,036 097 679 36 × 2 = 0 + 0,072 195 358 72;
  • 9) 0,072 195 358 72 × 2 = 0 + 0,144 390 717 44;
  • 10) 0,144 390 717 44 × 2 = 0 + 0,288 781 434 88;
  • 11) 0,288 781 434 88 × 2 = 0 + 0,577 562 869 76;
  • 12) 0,577 562 869 76 × 2 = 1 + 0,155 125 739 52;
  • 13) 0,155 125 739 52 × 2 = 0 + 0,310 251 479 04;
  • 14) 0,310 251 479 04 × 2 = 0 + 0,620 502 958 08;
  • 15) 0,620 502 958 08 × 2 = 1 + 0,241 005 916 16;
  • 16) 0,241 005 916 16 × 2 = 0 + 0,482 011 832 32;
  • 17) 0,482 011 832 32 × 2 = 0 + 0,964 023 664 64;
  • 18) 0,964 023 664 64 × 2 = 1 + 0,928 047 329 28;
  • 19) 0,928 047 329 28 × 2 = 1 + 0,856 094 658 56;
  • 20) 0,856 094 658 56 × 2 = 1 + 0,712 189 317 12;
  • 21) 0,712 189 317 12 × 2 = 1 + 0,424 378 634 24;
  • 22) 0,424 378 634 24 × 2 = 0 + 0,848 757 268 48;
  • 23) 0,848 757 268 48 × 2 = 1 + 0,697 514 536 96;
  • 24) 0,697 514 536 96 × 2 = 1 + 0,395 029 073 92;
  • 25) 0,395 029 073 92 × 2 = 0 + 0,790 058 147 84;
  • 26) 0,790 058 147 84 × 2 = 1 + 0,580 116 295 68;
  • 27) 0,580 116 295 68 × 2 = 1 + 0,160 232 591 36;
  • 28) 0,160 232 591 36 × 2 = 0 + 0,320 465 182 72;
  • 29) 0,320 465 182 72 × 2 = 0 + 0,640 930 365 44;
  • 30) 0,640 930 365 44 × 2 = 1 + 0,281 860 730 88;
  • 31) 0,281 860 730 88 × 2 = 0 + 0,563 721 461 76;
  • 32) 0,563 721 461 76 × 2 = 1 + 0,127 442 923 52;
  • 33) 0,127 442 923 52 × 2 = 0 + 0,254 885 847 04;
  • 34) 0,254 885 847 04 × 2 = 0 + 0,509 771 694 08;
  • 35) 0,509 771 694 08 × 2 = 1 + 0,019 543 388 16;
  • 36) 0,019 543 388 16 × 2 = 0 + 0,039 086 776 32;
  • 37) 0,039 086 776 32 × 2 = 0 + 0,078 173 552 64;
  • 38) 0,078 173 552 64 × 2 = 0 + 0,156 347 105 28;
  • 39) 0,156 347 105 28 × 2 = 0 + 0,312 694 210 56;
  • 40) 0,312 694 210 56 × 2 = 0 + 0,625 388 421 12;
  • 41) 0,625 388 421 12 × 2 = 1 + 0,250 776 842 24;
  • 42) 0,250 776 842 24 × 2 = 0 + 0,501 553 684 48;
  • 43) 0,501 553 684 48 × 2 = 1 + 0,003 107 368 96;
  • 44) 0,003 107 368 96 × 2 = 0 + 0,006 214 737 92;
  • 45) 0,006 214 737 92 × 2 = 0 + 0,012 429 475 84;
  • 46) 0,012 429 475 84 × 2 = 0 + 0,024 858 951 68;
  • 47) 0,024 858 951 68 × 2 = 0 + 0,049 717 903 36;
  • 48) 0,049 717 903 36 × 2 = 0 + 0,099 435 806 72;
  • 49) 0,099 435 806 72 × 2 = 0 + 0,198 871 613 44;
  • 50) 0,198 871 613 44 × 2 = 0 + 0,397 743 226 88;
  • 51) 0,397 743 226 88 × 2 = 0 + 0,795 486 453 76;
  • 52) 0,795 486 453 76 × 2 = 1 + 0,590 972 907 52;
  • 53) 0,590 972 907 52 × 2 = 1 + 0,181 945 815 04;
  • 54) 0,181 945 815 04 × 2 = 0 + 0,363 891 630 08;
  • 55) 0,363 891 630 08 × 2 = 0 + 0,727 783 260 16;
  • 56) 0,727 783 260 16 × 2 = 1 + 0,455 566 520 32;
  • 57) 0,455 566 520 32 × 2 = 0 + 0,911 133 040 64;
  • 58) 0,911 133 040 64 × 2 = 1 + 0,822 266 081 28;
  • 59) 0,822 266 081 28 × 2 = 1 + 0,644 532 162 56;
  • 60) 0,644 532 162 56 × 2 = 1 + 0,289 064 325 12;
  • 61) 0,289 064 325 12 × 2 = 0 + 0,578 128 650 24;
  • 62) 0,578 128 650 24 × 2 = 1 + 0,156 257 300 48;
  • 63) 0,156 257 300 48 × 2 = 0 + 0,312 514 600 96;
  • 64) 0,312 514 600 96 × 2 = 0 + 0,625 029 201 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 013 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 013 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 013 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100 =

0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100


Numărul zecimal -0,000 282 013 12 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 0101 0010 0000 1010 0000 0001 1001 0111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 012 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100