-0,000 282 013 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 013 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 013 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 013 9| = 0,000 282 013 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 013 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 013 9 × 2 = 0 + 0,000 564 027 8;
  • 2) 0,000 564 027 8 × 2 = 0 + 0,001 128 055 6;
  • 3) 0,001 128 055 6 × 2 = 0 + 0,002 256 111 2;
  • 4) 0,002 256 111 2 × 2 = 0 + 0,004 512 222 4;
  • 5) 0,004 512 222 4 × 2 = 0 + 0,009 024 444 8;
  • 6) 0,009 024 444 8 × 2 = 0 + 0,018 048 889 6;
  • 7) 0,018 048 889 6 × 2 = 0 + 0,036 097 779 2;
  • 8) 0,036 097 779 2 × 2 = 0 + 0,072 195 558 4;
  • 9) 0,072 195 558 4 × 2 = 0 + 0,144 391 116 8;
  • 10) 0,144 391 116 8 × 2 = 0 + 0,288 782 233 6;
  • 11) 0,288 782 233 6 × 2 = 0 + 0,577 564 467 2;
  • 12) 0,577 564 467 2 × 2 = 1 + 0,155 128 934 4;
  • 13) 0,155 128 934 4 × 2 = 0 + 0,310 257 868 8;
  • 14) 0,310 257 868 8 × 2 = 0 + 0,620 515 737 6;
  • 15) 0,620 515 737 6 × 2 = 1 + 0,241 031 475 2;
  • 16) 0,241 031 475 2 × 2 = 0 + 0,482 062 950 4;
  • 17) 0,482 062 950 4 × 2 = 0 + 0,964 125 900 8;
  • 18) 0,964 125 900 8 × 2 = 1 + 0,928 251 801 6;
  • 19) 0,928 251 801 6 × 2 = 1 + 0,856 503 603 2;
  • 20) 0,856 503 603 2 × 2 = 1 + 0,713 007 206 4;
  • 21) 0,713 007 206 4 × 2 = 1 + 0,426 014 412 8;
  • 22) 0,426 014 412 8 × 2 = 0 + 0,852 028 825 6;
  • 23) 0,852 028 825 6 × 2 = 1 + 0,704 057 651 2;
  • 24) 0,704 057 651 2 × 2 = 1 + 0,408 115 302 4;
  • 25) 0,408 115 302 4 × 2 = 0 + 0,816 230 604 8;
  • 26) 0,816 230 604 8 × 2 = 1 + 0,632 461 209 6;
  • 27) 0,632 461 209 6 × 2 = 1 + 0,264 922 419 2;
  • 28) 0,264 922 419 2 × 2 = 0 + 0,529 844 838 4;
  • 29) 0,529 844 838 4 × 2 = 1 + 0,059 689 676 8;
  • 30) 0,059 689 676 8 × 2 = 0 + 0,119 379 353 6;
  • 31) 0,119 379 353 6 × 2 = 0 + 0,238 758 707 2;
  • 32) 0,238 758 707 2 × 2 = 0 + 0,477 517 414 4;
  • 33) 0,477 517 414 4 × 2 = 0 + 0,955 034 828 8;
  • 34) 0,955 034 828 8 × 2 = 1 + 0,910 069 657 6;
  • 35) 0,910 069 657 6 × 2 = 1 + 0,820 139 315 2;
  • 36) 0,820 139 315 2 × 2 = 1 + 0,640 278 630 4;
  • 37) 0,640 278 630 4 × 2 = 1 + 0,280 557 260 8;
  • 38) 0,280 557 260 8 × 2 = 0 + 0,561 114 521 6;
  • 39) 0,561 114 521 6 × 2 = 1 + 0,122 229 043 2;
  • 40) 0,122 229 043 2 × 2 = 0 + 0,244 458 086 4;
  • 41) 0,244 458 086 4 × 2 = 0 + 0,488 916 172 8;
  • 42) 0,488 916 172 8 × 2 = 0 + 0,977 832 345 6;
  • 43) 0,977 832 345 6 × 2 = 1 + 0,955 664 691 2;
  • 44) 0,955 664 691 2 × 2 = 1 + 0,911 329 382 4;
  • 45) 0,911 329 382 4 × 2 = 1 + 0,822 658 764 8;
  • 46) 0,822 658 764 8 × 2 = 1 + 0,645 317 529 6;
  • 47) 0,645 317 529 6 × 2 = 1 + 0,290 635 059 2;
  • 48) 0,290 635 059 2 × 2 = 0 + 0,581 270 118 4;
  • 49) 0,581 270 118 4 × 2 = 1 + 0,162 540 236 8;
  • 50) 0,162 540 236 8 × 2 = 0 + 0,325 080 473 6;
  • 51) 0,325 080 473 6 × 2 = 0 + 0,650 160 947 2;
  • 52) 0,650 160 947 2 × 2 = 1 + 0,300 321 894 4;
  • 53) 0,300 321 894 4 × 2 = 0 + 0,600 643 788 8;
  • 54) 0,600 643 788 8 × 2 = 1 + 0,201 287 577 6;
  • 55) 0,201 287 577 6 × 2 = 0 + 0,402 575 155 2;
  • 56) 0,402 575 155 2 × 2 = 0 + 0,805 150 310 4;
  • 57) 0,805 150 310 4 × 2 = 1 + 0,610 300 620 8;
  • 58) 0,610 300 620 8 × 2 = 1 + 0,220 601 241 6;
  • 59) 0,220 601 241 6 × 2 = 0 + 0,441 202 483 2;
  • 60) 0,441 202 483 2 × 2 = 0 + 0,882 404 966 4;
  • 61) 0,882 404 966 4 × 2 = 1 + 0,764 809 932 8;
  • 62) 0,764 809 932 8 × 2 = 1 + 0,529 619 865 6;
  • 63) 0,529 619 865 6 × 2 = 1 + 0,059 239 731 2;
  • 64) 0,059 239 731 2 × 2 = 0 + 0,118 479 462 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 013 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 013 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 013 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110 =

0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110


Numărul zecimal -0,000 282 013 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1000 0111 1010 0011 1110 1001 0100 1100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100