-0,000 282 014 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 014 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 014 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 014 04| = 0,000 282 014 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 014 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 014 04 × 2 = 0 + 0,000 564 028 08;
  • 2) 0,000 564 028 08 × 2 = 0 + 0,001 128 056 16;
  • 3) 0,001 128 056 16 × 2 = 0 + 0,002 256 112 32;
  • 4) 0,002 256 112 32 × 2 = 0 + 0,004 512 224 64;
  • 5) 0,004 512 224 64 × 2 = 0 + 0,009 024 449 28;
  • 6) 0,009 024 449 28 × 2 = 0 + 0,018 048 898 56;
  • 7) 0,018 048 898 56 × 2 = 0 + 0,036 097 797 12;
  • 8) 0,036 097 797 12 × 2 = 0 + 0,072 195 594 24;
  • 9) 0,072 195 594 24 × 2 = 0 + 0,144 391 188 48;
  • 10) 0,144 391 188 48 × 2 = 0 + 0,288 782 376 96;
  • 11) 0,288 782 376 96 × 2 = 0 + 0,577 564 753 92;
  • 12) 0,577 564 753 92 × 2 = 1 + 0,155 129 507 84;
  • 13) 0,155 129 507 84 × 2 = 0 + 0,310 259 015 68;
  • 14) 0,310 259 015 68 × 2 = 0 + 0,620 518 031 36;
  • 15) 0,620 518 031 36 × 2 = 1 + 0,241 036 062 72;
  • 16) 0,241 036 062 72 × 2 = 0 + 0,482 072 125 44;
  • 17) 0,482 072 125 44 × 2 = 0 + 0,964 144 250 88;
  • 18) 0,964 144 250 88 × 2 = 1 + 0,928 288 501 76;
  • 19) 0,928 288 501 76 × 2 = 1 + 0,856 577 003 52;
  • 20) 0,856 577 003 52 × 2 = 1 + 0,713 154 007 04;
  • 21) 0,713 154 007 04 × 2 = 1 + 0,426 308 014 08;
  • 22) 0,426 308 014 08 × 2 = 0 + 0,852 616 028 16;
  • 23) 0,852 616 028 16 × 2 = 1 + 0,705 232 056 32;
  • 24) 0,705 232 056 32 × 2 = 1 + 0,410 464 112 64;
  • 25) 0,410 464 112 64 × 2 = 0 + 0,820 928 225 28;
  • 26) 0,820 928 225 28 × 2 = 1 + 0,641 856 450 56;
  • 27) 0,641 856 450 56 × 2 = 1 + 0,283 712 901 12;
  • 28) 0,283 712 901 12 × 2 = 0 + 0,567 425 802 24;
  • 29) 0,567 425 802 24 × 2 = 1 + 0,134 851 604 48;
  • 30) 0,134 851 604 48 × 2 = 0 + 0,269 703 208 96;
  • 31) 0,269 703 208 96 × 2 = 0 + 0,539 406 417 92;
  • 32) 0,539 406 417 92 × 2 = 1 + 0,078 812 835 84;
  • 33) 0,078 812 835 84 × 2 = 0 + 0,157 625 671 68;
  • 34) 0,157 625 671 68 × 2 = 0 + 0,315 251 343 36;
  • 35) 0,315 251 343 36 × 2 = 0 + 0,630 502 686 72;
  • 36) 0,630 502 686 72 × 2 = 1 + 0,261 005 373 44;
  • 37) 0,261 005 373 44 × 2 = 0 + 0,522 010 746 88;
  • 38) 0,522 010 746 88 × 2 = 1 + 0,044 021 493 76;
  • 39) 0,044 021 493 76 × 2 = 0 + 0,088 042 987 52;
  • 40) 0,088 042 987 52 × 2 = 0 + 0,176 085 975 04;
  • 41) 0,176 085 975 04 × 2 = 0 + 0,352 171 950 08;
  • 42) 0,352 171 950 08 × 2 = 0 + 0,704 343 900 16;
  • 43) 0,704 343 900 16 × 2 = 1 + 0,408 687 800 32;
  • 44) 0,408 687 800 32 × 2 = 0 + 0,817 375 600 64;
  • 45) 0,817 375 600 64 × 2 = 1 + 0,634 751 201 28;
  • 46) 0,634 751 201 28 × 2 = 1 + 0,269 502 402 56;
  • 47) 0,269 502 402 56 × 2 = 0 + 0,539 004 805 12;
  • 48) 0,539 004 805 12 × 2 = 1 + 0,078 009 610 24;
  • 49) 0,078 009 610 24 × 2 = 0 + 0,156 019 220 48;
  • 50) 0,156 019 220 48 × 2 = 0 + 0,312 038 440 96;
  • 51) 0,312 038 440 96 × 2 = 0 + 0,624 076 881 92;
  • 52) 0,624 076 881 92 × 2 = 1 + 0,248 153 763 84;
  • 53) 0,248 153 763 84 × 2 = 0 + 0,496 307 527 68;
  • 54) 0,496 307 527 68 × 2 = 0 + 0,992 615 055 36;
  • 55) 0,992 615 055 36 × 2 = 1 + 0,985 230 110 72;
  • 56) 0,985 230 110 72 × 2 = 1 + 0,970 460 221 44;
  • 57) 0,970 460 221 44 × 2 = 1 + 0,940 920 442 88;
  • 58) 0,940 920 442 88 × 2 = 1 + 0,881 840 885 76;
  • 59) 0,881 840 885 76 × 2 = 1 + 0,763 681 771 52;
  • 60) 0,763 681 771 52 × 2 = 1 + 0,527 363 543 04;
  • 61) 0,527 363 543 04 × 2 = 1 + 0,054 727 086 08;
  • 62) 0,054 727 086 08 × 2 = 0 + 0,109 454 172 16;
  • 63) 0,109 454 172 16 × 2 = 0 + 0,218 908 344 32;
  • 64) 0,218 908 344 32 × 2 = 0 + 0,437 816 688 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 014 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 014 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 014 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000 =

0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 014 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1001 0001 0100 0010 1101 0001 0011 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 014 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100