-0,000 282 014 07 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 014 07(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 014 07(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 014 07| = 0,000 282 014 07


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 014 07.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 014 07 × 2 = 0 + 0,000 564 028 14;
  • 2) 0,000 564 028 14 × 2 = 0 + 0,001 128 056 28;
  • 3) 0,001 128 056 28 × 2 = 0 + 0,002 256 112 56;
  • 4) 0,002 256 112 56 × 2 = 0 + 0,004 512 225 12;
  • 5) 0,004 512 225 12 × 2 = 0 + 0,009 024 450 24;
  • 6) 0,009 024 450 24 × 2 = 0 + 0,018 048 900 48;
  • 7) 0,018 048 900 48 × 2 = 0 + 0,036 097 800 96;
  • 8) 0,036 097 800 96 × 2 = 0 + 0,072 195 601 92;
  • 9) 0,072 195 601 92 × 2 = 0 + 0,144 391 203 84;
  • 10) 0,144 391 203 84 × 2 = 0 + 0,288 782 407 68;
  • 11) 0,288 782 407 68 × 2 = 0 + 0,577 564 815 36;
  • 12) 0,577 564 815 36 × 2 = 1 + 0,155 129 630 72;
  • 13) 0,155 129 630 72 × 2 = 0 + 0,310 259 261 44;
  • 14) 0,310 259 261 44 × 2 = 0 + 0,620 518 522 88;
  • 15) 0,620 518 522 88 × 2 = 1 + 0,241 037 045 76;
  • 16) 0,241 037 045 76 × 2 = 0 + 0,482 074 091 52;
  • 17) 0,482 074 091 52 × 2 = 0 + 0,964 148 183 04;
  • 18) 0,964 148 183 04 × 2 = 1 + 0,928 296 366 08;
  • 19) 0,928 296 366 08 × 2 = 1 + 0,856 592 732 16;
  • 20) 0,856 592 732 16 × 2 = 1 + 0,713 185 464 32;
  • 21) 0,713 185 464 32 × 2 = 1 + 0,426 370 928 64;
  • 22) 0,426 370 928 64 × 2 = 0 + 0,852 741 857 28;
  • 23) 0,852 741 857 28 × 2 = 1 + 0,705 483 714 56;
  • 24) 0,705 483 714 56 × 2 = 1 + 0,410 967 429 12;
  • 25) 0,410 967 429 12 × 2 = 0 + 0,821 934 858 24;
  • 26) 0,821 934 858 24 × 2 = 1 + 0,643 869 716 48;
  • 27) 0,643 869 716 48 × 2 = 1 + 0,287 739 432 96;
  • 28) 0,287 739 432 96 × 2 = 0 + 0,575 478 865 92;
  • 29) 0,575 478 865 92 × 2 = 1 + 0,150 957 731 84;
  • 30) 0,150 957 731 84 × 2 = 0 + 0,301 915 463 68;
  • 31) 0,301 915 463 68 × 2 = 0 + 0,603 830 927 36;
  • 32) 0,603 830 927 36 × 2 = 1 + 0,207 661 854 72;
  • 33) 0,207 661 854 72 × 2 = 0 + 0,415 323 709 44;
  • 34) 0,415 323 709 44 × 2 = 0 + 0,830 647 418 88;
  • 35) 0,830 647 418 88 × 2 = 1 + 0,661 294 837 76;
  • 36) 0,661 294 837 76 × 2 = 1 + 0,322 589 675 52;
  • 37) 0,322 589 675 52 × 2 = 0 + 0,645 179 351 04;
  • 38) 0,645 179 351 04 × 2 = 1 + 0,290 358 702 08;
  • 39) 0,290 358 702 08 × 2 = 0 + 0,580 717 404 16;
  • 40) 0,580 717 404 16 × 2 = 1 + 0,161 434 808 32;
  • 41) 0,161 434 808 32 × 2 = 0 + 0,322 869 616 64;
  • 42) 0,322 869 616 64 × 2 = 0 + 0,645 739 233 28;
  • 43) 0,645 739 233 28 × 2 = 1 + 0,291 478 466 56;
  • 44) 0,291 478 466 56 × 2 = 0 + 0,582 956 933 12;
  • 45) 0,582 956 933 12 × 2 = 1 + 0,165 913 866 24;
  • 46) 0,165 913 866 24 × 2 = 0 + 0,331 827 732 48;
  • 47) 0,331 827 732 48 × 2 = 0 + 0,663 655 464 96;
  • 48) 0,663 655 464 96 × 2 = 1 + 0,327 310 929 92;
  • 49) 0,327 310 929 92 × 2 = 0 + 0,654 621 859 84;
  • 50) 0,654 621 859 84 × 2 = 1 + 0,309 243 719 68;
  • 51) 0,309 243 719 68 × 2 = 0 + 0,618 487 439 36;
  • 52) 0,618 487 439 36 × 2 = 1 + 0,236 974 878 72;
  • 53) 0,236 974 878 72 × 2 = 0 + 0,473 949 757 44;
  • 54) 0,473 949 757 44 × 2 = 0 + 0,947 899 514 88;
  • 55) 0,947 899 514 88 × 2 = 1 + 0,895 799 029 76;
  • 56) 0,895 799 029 76 × 2 = 1 + 0,791 598 059 52;
  • 57) 0,791 598 059 52 × 2 = 1 + 0,583 196 119 04;
  • 58) 0,583 196 119 04 × 2 = 1 + 0,166 392 238 08;
  • 59) 0,166 392 238 08 × 2 = 0 + 0,332 784 476 16;
  • 60) 0,332 784 476 16 × 2 = 0 + 0,665 568 952 32;
  • 61) 0,665 568 952 32 × 2 = 1 + 0,331 137 904 64;
  • 62) 0,331 137 904 64 × 2 = 0 + 0,662 275 809 28;
  • 63) 0,662 275 809 28 × 2 = 1 + 0,324 551 618 56;
  • 64) 0,324 551 618 56 × 2 = 0 + 0,649 103 237 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 014 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 014 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 014 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010 =

0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010


Numărul zecimal -0,000 282 014 07 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1001 0011 0101 0010 1001 0101 0011 1100 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 014 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100