-0,000 282 014 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 014 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 014 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 014 1| = 0,000 282 014 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 014 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 014 1 × 2 = 0 + 0,000 564 028 2;
  • 2) 0,000 564 028 2 × 2 = 0 + 0,001 128 056 4;
  • 3) 0,001 128 056 4 × 2 = 0 + 0,002 256 112 8;
  • 4) 0,002 256 112 8 × 2 = 0 + 0,004 512 225 6;
  • 5) 0,004 512 225 6 × 2 = 0 + 0,009 024 451 2;
  • 6) 0,009 024 451 2 × 2 = 0 + 0,018 048 902 4;
  • 7) 0,018 048 902 4 × 2 = 0 + 0,036 097 804 8;
  • 8) 0,036 097 804 8 × 2 = 0 + 0,072 195 609 6;
  • 9) 0,072 195 609 6 × 2 = 0 + 0,144 391 219 2;
  • 10) 0,144 391 219 2 × 2 = 0 + 0,288 782 438 4;
  • 11) 0,288 782 438 4 × 2 = 0 + 0,577 564 876 8;
  • 12) 0,577 564 876 8 × 2 = 1 + 0,155 129 753 6;
  • 13) 0,155 129 753 6 × 2 = 0 + 0,310 259 507 2;
  • 14) 0,310 259 507 2 × 2 = 0 + 0,620 519 014 4;
  • 15) 0,620 519 014 4 × 2 = 1 + 0,241 038 028 8;
  • 16) 0,241 038 028 8 × 2 = 0 + 0,482 076 057 6;
  • 17) 0,482 076 057 6 × 2 = 0 + 0,964 152 115 2;
  • 18) 0,964 152 115 2 × 2 = 1 + 0,928 304 230 4;
  • 19) 0,928 304 230 4 × 2 = 1 + 0,856 608 460 8;
  • 20) 0,856 608 460 8 × 2 = 1 + 0,713 216 921 6;
  • 21) 0,713 216 921 6 × 2 = 1 + 0,426 433 843 2;
  • 22) 0,426 433 843 2 × 2 = 0 + 0,852 867 686 4;
  • 23) 0,852 867 686 4 × 2 = 1 + 0,705 735 372 8;
  • 24) 0,705 735 372 8 × 2 = 1 + 0,411 470 745 6;
  • 25) 0,411 470 745 6 × 2 = 0 + 0,822 941 491 2;
  • 26) 0,822 941 491 2 × 2 = 1 + 0,645 882 982 4;
  • 27) 0,645 882 982 4 × 2 = 1 + 0,291 765 964 8;
  • 28) 0,291 765 964 8 × 2 = 0 + 0,583 531 929 6;
  • 29) 0,583 531 929 6 × 2 = 1 + 0,167 063 859 2;
  • 30) 0,167 063 859 2 × 2 = 0 + 0,334 127 718 4;
  • 31) 0,334 127 718 4 × 2 = 0 + 0,668 255 436 8;
  • 32) 0,668 255 436 8 × 2 = 1 + 0,336 510 873 6;
  • 33) 0,336 510 873 6 × 2 = 0 + 0,673 021 747 2;
  • 34) 0,673 021 747 2 × 2 = 1 + 0,346 043 494 4;
  • 35) 0,346 043 494 4 × 2 = 0 + 0,692 086 988 8;
  • 36) 0,692 086 988 8 × 2 = 1 + 0,384 173 977 6;
  • 37) 0,384 173 977 6 × 2 = 0 + 0,768 347 955 2;
  • 38) 0,768 347 955 2 × 2 = 1 + 0,536 695 910 4;
  • 39) 0,536 695 910 4 × 2 = 1 + 0,073 391 820 8;
  • 40) 0,073 391 820 8 × 2 = 0 + 0,146 783 641 6;
  • 41) 0,146 783 641 6 × 2 = 0 + 0,293 567 283 2;
  • 42) 0,293 567 283 2 × 2 = 0 + 0,587 134 566 4;
  • 43) 0,587 134 566 4 × 2 = 1 + 0,174 269 132 8;
  • 44) 0,174 269 132 8 × 2 = 0 + 0,348 538 265 6;
  • 45) 0,348 538 265 6 × 2 = 0 + 0,697 076 531 2;
  • 46) 0,697 076 531 2 × 2 = 1 + 0,394 153 062 4;
  • 47) 0,394 153 062 4 × 2 = 0 + 0,788 306 124 8;
  • 48) 0,788 306 124 8 × 2 = 1 + 0,576 612 249 6;
  • 49) 0,576 612 249 6 × 2 = 1 + 0,153 224 499 2;
  • 50) 0,153 224 499 2 × 2 = 0 + 0,306 448 998 4;
  • 51) 0,306 448 998 4 × 2 = 0 + 0,612 897 996 8;
  • 52) 0,612 897 996 8 × 2 = 1 + 0,225 795 993 6;
  • 53) 0,225 795 993 6 × 2 = 0 + 0,451 591 987 2;
  • 54) 0,451 591 987 2 × 2 = 0 + 0,903 183 974 4;
  • 55) 0,903 183 974 4 × 2 = 1 + 0,806 367 948 8;
  • 56) 0,806 367 948 8 × 2 = 1 + 0,612 735 897 6;
  • 57) 0,612 735 897 6 × 2 = 1 + 0,225 471 795 2;
  • 58) 0,225 471 795 2 × 2 = 0 + 0,450 943 590 4;
  • 59) 0,450 943 590 4 × 2 = 0 + 0,901 887 180 8;
  • 60) 0,901 887 180 8 × 2 = 1 + 0,803 774 361 6;
  • 61) 0,803 774 361 6 × 2 = 1 + 0,607 548 723 2;
  • 62) 0,607 548 723 2 × 2 = 1 + 0,215 097 446 4;
  • 63) 0,215 097 446 4 × 2 = 0 + 0,430 194 892 8;
  • 64) 0,430 194 892 8 × 2 = 0 + 0,860 389 785 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 014 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 014 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 014 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100 =

0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 014 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1001 0101 0110 0010 0101 1001 0011 1001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 011 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100