-0,000 282 014 23 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 014 23(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 014 23(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 014 23| = 0,000 282 014 23


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 014 23.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 014 23 × 2 = 0 + 0,000 564 028 46;
  • 2) 0,000 564 028 46 × 2 = 0 + 0,001 128 056 92;
  • 3) 0,001 128 056 92 × 2 = 0 + 0,002 256 113 84;
  • 4) 0,002 256 113 84 × 2 = 0 + 0,004 512 227 68;
  • 5) 0,004 512 227 68 × 2 = 0 + 0,009 024 455 36;
  • 6) 0,009 024 455 36 × 2 = 0 + 0,018 048 910 72;
  • 7) 0,018 048 910 72 × 2 = 0 + 0,036 097 821 44;
  • 8) 0,036 097 821 44 × 2 = 0 + 0,072 195 642 88;
  • 9) 0,072 195 642 88 × 2 = 0 + 0,144 391 285 76;
  • 10) 0,144 391 285 76 × 2 = 0 + 0,288 782 571 52;
  • 11) 0,288 782 571 52 × 2 = 0 + 0,577 565 143 04;
  • 12) 0,577 565 143 04 × 2 = 1 + 0,155 130 286 08;
  • 13) 0,155 130 286 08 × 2 = 0 + 0,310 260 572 16;
  • 14) 0,310 260 572 16 × 2 = 0 + 0,620 521 144 32;
  • 15) 0,620 521 144 32 × 2 = 1 + 0,241 042 288 64;
  • 16) 0,241 042 288 64 × 2 = 0 + 0,482 084 577 28;
  • 17) 0,482 084 577 28 × 2 = 0 + 0,964 169 154 56;
  • 18) 0,964 169 154 56 × 2 = 1 + 0,928 338 309 12;
  • 19) 0,928 338 309 12 × 2 = 1 + 0,856 676 618 24;
  • 20) 0,856 676 618 24 × 2 = 1 + 0,713 353 236 48;
  • 21) 0,713 353 236 48 × 2 = 1 + 0,426 706 472 96;
  • 22) 0,426 706 472 96 × 2 = 0 + 0,853 412 945 92;
  • 23) 0,853 412 945 92 × 2 = 1 + 0,706 825 891 84;
  • 24) 0,706 825 891 84 × 2 = 1 + 0,413 651 783 68;
  • 25) 0,413 651 783 68 × 2 = 0 + 0,827 303 567 36;
  • 26) 0,827 303 567 36 × 2 = 1 + 0,654 607 134 72;
  • 27) 0,654 607 134 72 × 2 = 1 + 0,309 214 269 44;
  • 28) 0,309 214 269 44 × 2 = 0 + 0,618 428 538 88;
  • 29) 0,618 428 538 88 × 2 = 1 + 0,236 857 077 76;
  • 30) 0,236 857 077 76 × 2 = 0 + 0,473 714 155 52;
  • 31) 0,473 714 155 52 × 2 = 0 + 0,947 428 311 04;
  • 32) 0,947 428 311 04 × 2 = 1 + 0,894 856 622 08;
  • 33) 0,894 856 622 08 × 2 = 1 + 0,789 713 244 16;
  • 34) 0,789 713 244 16 × 2 = 1 + 0,579 426 488 32;
  • 35) 0,579 426 488 32 × 2 = 1 + 0,158 852 976 64;
  • 36) 0,158 852 976 64 × 2 = 0 + 0,317 705 953 28;
  • 37) 0,317 705 953 28 × 2 = 0 + 0,635 411 906 56;
  • 38) 0,635 411 906 56 × 2 = 1 + 0,270 823 813 12;
  • 39) 0,270 823 813 12 × 2 = 0 + 0,541 647 626 24;
  • 40) 0,541 647 626 24 × 2 = 1 + 0,083 295 252 48;
  • 41) 0,083 295 252 48 × 2 = 0 + 0,166 590 504 96;
  • 42) 0,166 590 504 96 × 2 = 0 + 0,333 181 009 92;
  • 43) 0,333 181 009 92 × 2 = 0 + 0,666 362 019 84;
  • 44) 0,666 362 019 84 × 2 = 1 + 0,332 724 039 68;
  • 45) 0,332 724 039 68 × 2 = 0 + 0,665 448 079 36;
  • 46) 0,665 448 079 36 × 2 = 1 + 0,330 896 158 72;
  • 47) 0,330 896 158 72 × 2 = 0 + 0,661 792 317 44;
  • 48) 0,661 792 317 44 × 2 = 1 + 0,323 584 634 88;
  • 49) 0,323 584 634 88 × 2 = 0 + 0,647 169 269 76;
  • 50) 0,647 169 269 76 × 2 = 1 + 0,294 338 539 52;
  • 51) 0,294 338 539 52 × 2 = 0 + 0,588 677 079 04;
  • 52) 0,588 677 079 04 × 2 = 1 + 0,177 354 158 08;
  • 53) 0,177 354 158 08 × 2 = 0 + 0,354 708 316 16;
  • 54) 0,354 708 316 16 × 2 = 0 + 0,709 416 632 32;
  • 55) 0,709 416 632 32 × 2 = 1 + 0,418 833 264 64;
  • 56) 0,418 833 264 64 × 2 = 0 + 0,837 666 529 28;
  • 57) 0,837 666 529 28 × 2 = 1 + 0,675 333 058 56;
  • 58) 0,675 333 058 56 × 2 = 1 + 0,350 666 117 12;
  • 59) 0,350 666 117 12 × 2 = 0 + 0,701 332 234 24;
  • 60) 0,701 332 234 24 × 2 = 1 + 0,402 664 468 48;
  • 61) 0,402 664 468 48 × 2 = 0 + 0,805 328 936 96;
  • 62) 0,805 328 936 96 × 2 = 1 + 0,610 657 873 92;
  • 63) 0,610 657 873 92 × 2 = 1 + 0,221 315 747 84;
  • 64) 0,221 315 747 84 × 2 = 0 + 0,442 631 495 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 014 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 014 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 014 23(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110 =

0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110


Numărul zecimal -0,000 282 014 23 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1001 1110 0101 0001 0101 0101 0010 1101 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 014 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100