-0,000 282 014 29 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 014 29(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 014 29(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 014 29| = 0,000 282 014 29


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 014 29.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 014 29 × 2 = 0 + 0,000 564 028 58;
  • 2) 0,000 564 028 58 × 2 = 0 + 0,001 128 057 16;
  • 3) 0,001 128 057 16 × 2 = 0 + 0,002 256 114 32;
  • 4) 0,002 256 114 32 × 2 = 0 + 0,004 512 228 64;
  • 5) 0,004 512 228 64 × 2 = 0 + 0,009 024 457 28;
  • 6) 0,009 024 457 28 × 2 = 0 + 0,018 048 914 56;
  • 7) 0,018 048 914 56 × 2 = 0 + 0,036 097 829 12;
  • 8) 0,036 097 829 12 × 2 = 0 + 0,072 195 658 24;
  • 9) 0,072 195 658 24 × 2 = 0 + 0,144 391 316 48;
  • 10) 0,144 391 316 48 × 2 = 0 + 0,288 782 632 96;
  • 11) 0,288 782 632 96 × 2 = 0 + 0,577 565 265 92;
  • 12) 0,577 565 265 92 × 2 = 1 + 0,155 130 531 84;
  • 13) 0,155 130 531 84 × 2 = 0 + 0,310 261 063 68;
  • 14) 0,310 261 063 68 × 2 = 0 + 0,620 522 127 36;
  • 15) 0,620 522 127 36 × 2 = 1 + 0,241 044 254 72;
  • 16) 0,241 044 254 72 × 2 = 0 + 0,482 088 509 44;
  • 17) 0,482 088 509 44 × 2 = 0 + 0,964 177 018 88;
  • 18) 0,964 177 018 88 × 2 = 1 + 0,928 354 037 76;
  • 19) 0,928 354 037 76 × 2 = 1 + 0,856 708 075 52;
  • 20) 0,856 708 075 52 × 2 = 1 + 0,713 416 151 04;
  • 21) 0,713 416 151 04 × 2 = 1 + 0,426 832 302 08;
  • 22) 0,426 832 302 08 × 2 = 0 + 0,853 664 604 16;
  • 23) 0,853 664 604 16 × 2 = 1 + 0,707 329 208 32;
  • 24) 0,707 329 208 32 × 2 = 1 + 0,414 658 416 64;
  • 25) 0,414 658 416 64 × 2 = 0 + 0,829 316 833 28;
  • 26) 0,829 316 833 28 × 2 = 1 + 0,658 633 666 56;
  • 27) 0,658 633 666 56 × 2 = 1 + 0,317 267 333 12;
  • 28) 0,317 267 333 12 × 2 = 0 + 0,634 534 666 24;
  • 29) 0,634 534 666 24 × 2 = 1 + 0,269 069 332 48;
  • 30) 0,269 069 332 48 × 2 = 0 + 0,538 138 664 96;
  • 31) 0,538 138 664 96 × 2 = 1 + 0,076 277 329 92;
  • 32) 0,076 277 329 92 × 2 = 0 + 0,152 554 659 84;
  • 33) 0,152 554 659 84 × 2 = 0 + 0,305 109 319 68;
  • 34) 0,305 109 319 68 × 2 = 0 + 0,610 218 639 36;
  • 35) 0,610 218 639 36 × 2 = 1 + 0,220 437 278 72;
  • 36) 0,220 437 278 72 × 2 = 0 + 0,440 874 557 44;
  • 37) 0,440 874 557 44 × 2 = 0 + 0,881 749 114 88;
  • 38) 0,881 749 114 88 × 2 = 1 + 0,763 498 229 76;
  • 39) 0,763 498 229 76 × 2 = 1 + 0,526 996 459 52;
  • 40) 0,526 996 459 52 × 2 = 1 + 0,053 992 919 04;
  • 41) 0,053 992 919 04 × 2 = 0 + 0,107 985 838 08;
  • 42) 0,107 985 838 08 × 2 = 0 + 0,215 971 676 16;
  • 43) 0,215 971 676 16 × 2 = 0 + 0,431 943 352 32;
  • 44) 0,431 943 352 32 × 2 = 0 + 0,863 886 704 64;
  • 45) 0,863 886 704 64 × 2 = 1 + 0,727 773 409 28;
  • 46) 0,727 773 409 28 × 2 = 1 + 0,455 546 818 56;
  • 47) 0,455 546 818 56 × 2 = 0 + 0,911 093 637 12;
  • 48) 0,911 093 637 12 × 2 = 1 + 0,822 187 274 24;
  • 49) 0,822 187 274 24 × 2 = 1 + 0,644 374 548 48;
  • 50) 0,644 374 548 48 × 2 = 1 + 0,288 749 096 96;
  • 51) 0,288 749 096 96 × 2 = 0 + 0,577 498 193 92;
  • 52) 0,577 498 193 92 × 2 = 1 + 0,154 996 387 84;
  • 53) 0,154 996 387 84 × 2 = 0 + 0,309 992 775 68;
  • 54) 0,309 992 775 68 × 2 = 0 + 0,619 985 551 36;
  • 55) 0,619 985 551 36 × 2 = 1 + 0,239 971 102 72;
  • 56) 0,239 971 102 72 × 2 = 0 + 0,479 942 205 44;
  • 57) 0,479 942 205 44 × 2 = 0 + 0,959 884 410 88;
  • 58) 0,959 884 410 88 × 2 = 1 + 0,919 768 821 76;
  • 59) 0,919 768 821 76 × 2 = 1 + 0,839 537 643 52;
  • 60) 0,839 537 643 52 × 2 = 1 + 0,679 075 287 04;
  • 61) 0,679 075 287 04 × 2 = 1 + 0,358 150 574 08;
  • 62) 0,358 150 574 08 × 2 = 0 + 0,716 301 148 16;
  • 63) 0,716 301 148 16 × 2 = 1 + 0,432 602 296 32;
  • 64) 0,432 602 296 32 × 2 = 0 + 0,865 204 592 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 014 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 014 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 014 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010 =

0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010


Numărul zecimal -0,000 282 014 29 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1010 0010 0111 0000 1101 1101 0010 0111 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 014 35 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100