-0,000 282 015 13 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 015 13(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 015 13(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 015 13| = 0,000 282 015 13


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 015 13.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 015 13 × 2 = 0 + 0,000 564 030 26;
  • 2) 0,000 564 030 26 × 2 = 0 + 0,001 128 060 52;
  • 3) 0,001 128 060 52 × 2 = 0 + 0,002 256 121 04;
  • 4) 0,002 256 121 04 × 2 = 0 + 0,004 512 242 08;
  • 5) 0,004 512 242 08 × 2 = 0 + 0,009 024 484 16;
  • 6) 0,009 024 484 16 × 2 = 0 + 0,018 048 968 32;
  • 7) 0,018 048 968 32 × 2 = 0 + 0,036 097 936 64;
  • 8) 0,036 097 936 64 × 2 = 0 + 0,072 195 873 28;
  • 9) 0,072 195 873 28 × 2 = 0 + 0,144 391 746 56;
  • 10) 0,144 391 746 56 × 2 = 0 + 0,288 783 493 12;
  • 11) 0,288 783 493 12 × 2 = 0 + 0,577 566 986 24;
  • 12) 0,577 566 986 24 × 2 = 1 + 0,155 133 972 48;
  • 13) 0,155 133 972 48 × 2 = 0 + 0,310 267 944 96;
  • 14) 0,310 267 944 96 × 2 = 0 + 0,620 535 889 92;
  • 15) 0,620 535 889 92 × 2 = 1 + 0,241 071 779 84;
  • 16) 0,241 071 779 84 × 2 = 0 + 0,482 143 559 68;
  • 17) 0,482 143 559 68 × 2 = 0 + 0,964 287 119 36;
  • 18) 0,964 287 119 36 × 2 = 1 + 0,928 574 238 72;
  • 19) 0,928 574 238 72 × 2 = 1 + 0,857 148 477 44;
  • 20) 0,857 148 477 44 × 2 = 1 + 0,714 296 954 88;
  • 21) 0,714 296 954 88 × 2 = 1 + 0,428 593 909 76;
  • 22) 0,428 593 909 76 × 2 = 0 + 0,857 187 819 52;
  • 23) 0,857 187 819 52 × 2 = 1 + 0,714 375 639 04;
  • 24) 0,714 375 639 04 × 2 = 1 + 0,428 751 278 08;
  • 25) 0,428 751 278 08 × 2 = 0 + 0,857 502 556 16;
  • 26) 0,857 502 556 16 × 2 = 1 + 0,715 005 112 32;
  • 27) 0,715 005 112 32 × 2 = 1 + 0,430 010 224 64;
  • 28) 0,430 010 224 64 × 2 = 0 + 0,860 020 449 28;
  • 29) 0,860 020 449 28 × 2 = 1 + 0,720 040 898 56;
  • 30) 0,720 040 898 56 × 2 = 1 + 0,440 081 797 12;
  • 31) 0,440 081 797 12 × 2 = 0 + 0,880 163 594 24;
  • 32) 0,880 163 594 24 × 2 = 1 + 0,760 327 188 48;
  • 33) 0,760 327 188 48 × 2 = 1 + 0,520 654 376 96;
  • 34) 0,520 654 376 96 × 2 = 1 + 0,041 308 753 92;
  • 35) 0,041 308 753 92 × 2 = 0 + 0,082 617 507 84;
  • 36) 0,082 617 507 84 × 2 = 0 + 0,165 235 015 68;
  • 37) 0,165 235 015 68 × 2 = 0 + 0,330 470 031 36;
  • 38) 0,330 470 031 36 × 2 = 0 + 0,660 940 062 72;
  • 39) 0,660 940 062 72 × 2 = 1 + 0,321 880 125 44;
  • 40) 0,321 880 125 44 × 2 = 0 + 0,643 760 250 88;
  • 41) 0,643 760 250 88 × 2 = 1 + 0,287 520 501 76;
  • 42) 0,287 520 501 76 × 2 = 0 + 0,575 041 003 52;
  • 43) 0,575 041 003 52 × 2 = 1 + 0,150 082 007 04;
  • 44) 0,150 082 007 04 × 2 = 0 + 0,300 164 014 08;
  • 45) 0,300 164 014 08 × 2 = 0 + 0,600 328 028 16;
  • 46) 0,600 328 028 16 × 2 = 1 + 0,200 656 056 32;
  • 47) 0,200 656 056 32 × 2 = 0 + 0,401 312 112 64;
  • 48) 0,401 312 112 64 × 2 = 0 + 0,802 624 225 28;
  • 49) 0,802 624 225 28 × 2 = 1 + 0,605 248 450 56;
  • 50) 0,605 248 450 56 × 2 = 1 + 0,210 496 901 12;
  • 51) 0,210 496 901 12 × 2 = 0 + 0,420 993 802 24;
  • 52) 0,420 993 802 24 × 2 = 0 + 0,841 987 604 48;
  • 53) 0,841 987 604 48 × 2 = 1 + 0,683 975 208 96;
  • 54) 0,683 975 208 96 × 2 = 1 + 0,367 950 417 92;
  • 55) 0,367 950 417 92 × 2 = 0 + 0,735 900 835 84;
  • 56) 0,735 900 835 84 × 2 = 1 + 0,471 801 671 68;
  • 57) 0,471 801 671 68 × 2 = 0 + 0,943 603 343 36;
  • 58) 0,943 603 343 36 × 2 = 1 + 0,887 206 686 72;
  • 59) 0,887 206 686 72 × 2 = 1 + 0,774 413 373 44;
  • 60) 0,774 413 373 44 × 2 = 1 + 0,548 826 746 88;
  • 61) 0,548 826 746 88 × 2 = 1 + 0,097 653 493 76;
  • 62) 0,097 653 493 76 × 2 = 0 + 0,195 306 987 52;
  • 63) 0,195 306 987 52 × 2 = 0 + 0,390 613 975 04;
  • 64) 0,390 613 975 04 × 2 = 0 + 0,781 227 950 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 015 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 015 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 015 13(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000 =

0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 015 13 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 1101 1100 0010 1010 0100 1100 1101 0111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 015 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100