-0,000 282 015 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 015 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 015 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 015 79| = 0,000 282 015 79


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 015 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 015 79 × 2 = 0 + 0,000 564 031 58;
  • 2) 0,000 564 031 58 × 2 = 0 + 0,001 128 063 16;
  • 3) 0,001 128 063 16 × 2 = 0 + 0,002 256 126 32;
  • 4) 0,002 256 126 32 × 2 = 0 + 0,004 512 252 64;
  • 5) 0,004 512 252 64 × 2 = 0 + 0,009 024 505 28;
  • 6) 0,009 024 505 28 × 2 = 0 + 0,018 049 010 56;
  • 7) 0,018 049 010 56 × 2 = 0 + 0,036 098 021 12;
  • 8) 0,036 098 021 12 × 2 = 0 + 0,072 196 042 24;
  • 9) 0,072 196 042 24 × 2 = 0 + 0,144 392 084 48;
  • 10) 0,144 392 084 48 × 2 = 0 + 0,288 784 168 96;
  • 11) 0,288 784 168 96 × 2 = 0 + 0,577 568 337 92;
  • 12) 0,577 568 337 92 × 2 = 1 + 0,155 136 675 84;
  • 13) 0,155 136 675 84 × 2 = 0 + 0,310 273 351 68;
  • 14) 0,310 273 351 68 × 2 = 0 + 0,620 546 703 36;
  • 15) 0,620 546 703 36 × 2 = 1 + 0,241 093 406 72;
  • 16) 0,241 093 406 72 × 2 = 0 + 0,482 186 813 44;
  • 17) 0,482 186 813 44 × 2 = 0 + 0,964 373 626 88;
  • 18) 0,964 373 626 88 × 2 = 1 + 0,928 747 253 76;
  • 19) 0,928 747 253 76 × 2 = 1 + 0,857 494 507 52;
  • 20) 0,857 494 507 52 × 2 = 1 + 0,714 989 015 04;
  • 21) 0,714 989 015 04 × 2 = 1 + 0,429 978 030 08;
  • 22) 0,429 978 030 08 × 2 = 0 + 0,859 956 060 16;
  • 23) 0,859 956 060 16 × 2 = 1 + 0,719 912 120 32;
  • 24) 0,719 912 120 32 × 2 = 1 + 0,439 824 240 64;
  • 25) 0,439 824 240 64 × 2 = 0 + 0,879 648 481 28;
  • 26) 0,879 648 481 28 × 2 = 1 + 0,759 296 962 56;
  • 27) 0,759 296 962 56 × 2 = 1 + 0,518 593 925 12;
  • 28) 0,518 593 925 12 × 2 = 1 + 0,037 187 850 24;
  • 29) 0,037 187 850 24 × 2 = 0 + 0,074 375 700 48;
  • 30) 0,074 375 700 48 × 2 = 0 + 0,148 751 400 96;
  • 31) 0,148 751 400 96 × 2 = 0 + 0,297 502 801 92;
  • 32) 0,297 502 801 92 × 2 = 0 + 0,595 005 603 84;
  • 33) 0,595 005 603 84 × 2 = 1 + 0,190 011 207 68;
  • 34) 0,190 011 207 68 × 2 = 0 + 0,380 022 415 36;
  • 35) 0,380 022 415 36 × 2 = 0 + 0,760 044 830 72;
  • 36) 0,760 044 830 72 × 2 = 1 + 0,520 089 661 44;
  • 37) 0,520 089 661 44 × 2 = 1 + 0,040 179 322 88;
  • 38) 0,040 179 322 88 × 2 = 0 + 0,080 358 645 76;
  • 39) 0,080 358 645 76 × 2 = 0 + 0,160 717 291 52;
  • 40) 0,160 717 291 52 × 2 = 0 + 0,321 434 583 04;
  • 41) 0,321 434 583 04 × 2 = 0 + 0,642 869 166 08;
  • 42) 0,642 869 166 08 × 2 = 1 + 0,285 738 332 16;
  • 43) 0,285 738 332 16 × 2 = 0 + 0,571 476 664 32;
  • 44) 0,571 476 664 32 × 2 = 1 + 0,142 953 328 64;
  • 45) 0,142 953 328 64 × 2 = 0 + 0,285 906 657 28;
  • 46) 0,285 906 657 28 × 2 = 0 + 0,571 813 314 56;
  • 47) 0,571 813 314 56 × 2 = 1 + 0,143 626 629 12;
  • 48) 0,143 626 629 12 × 2 = 0 + 0,287 253 258 24;
  • 49) 0,287 253 258 24 × 2 = 0 + 0,574 506 516 48;
  • 50) 0,574 506 516 48 × 2 = 1 + 0,149 013 032 96;
  • 51) 0,149 013 032 96 × 2 = 0 + 0,298 026 065 92;
  • 52) 0,298 026 065 92 × 2 = 0 + 0,596 052 131 84;
  • 53) 0,596 052 131 84 × 2 = 1 + 0,192 104 263 68;
  • 54) 0,192 104 263 68 × 2 = 0 + 0,384 208 527 36;
  • 55) 0,384 208 527 36 × 2 = 0 + 0,768 417 054 72;
  • 56) 0,768 417 054 72 × 2 = 1 + 0,536 834 109 44;
  • 57) 0,536 834 109 44 × 2 = 1 + 0,073 668 218 88;
  • 58) 0,073 668 218 88 × 2 = 0 + 0,147 336 437 76;
  • 59) 0,147 336 437 76 × 2 = 0 + 0,294 672 875 52;
  • 60) 0,294 672 875 52 × 2 = 0 + 0,589 345 751 04;
  • 61) 0,589 345 751 04 × 2 = 1 + 0,178 691 502 08;
  • 62) 0,178 691 502 08 × 2 = 0 + 0,357 383 004 16;
  • 63) 0,357 383 004 16 × 2 = 0 + 0,714 766 008 32;
  • 64) 0,714 766 008 32 × 2 = 1 + 0,429 532 016 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 015 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 015 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 015 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001 =

0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001


Numărul zecimal -0,000 282 015 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0111 0000 1001 1000 0101 0010 0100 1001 1000 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 016 08 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100