-0,000 282 016 02 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 016 02(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 016 02(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 016 02| = 0,000 282 016 02


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 016 02.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 016 02 × 2 = 0 + 0,000 564 032 04;
  • 2) 0,000 564 032 04 × 2 = 0 + 0,001 128 064 08;
  • 3) 0,001 128 064 08 × 2 = 0 + 0,002 256 128 16;
  • 4) 0,002 256 128 16 × 2 = 0 + 0,004 512 256 32;
  • 5) 0,004 512 256 32 × 2 = 0 + 0,009 024 512 64;
  • 6) 0,009 024 512 64 × 2 = 0 + 0,018 049 025 28;
  • 7) 0,018 049 025 28 × 2 = 0 + 0,036 098 050 56;
  • 8) 0,036 098 050 56 × 2 = 0 + 0,072 196 101 12;
  • 9) 0,072 196 101 12 × 2 = 0 + 0,144 392 202 24;
  • 10) 0,144 392 202 24 × 2 = 0 + 0,288 784 404 48;
  • 11) 0,288 784 404 48 × 2 = 0 + 0,577 568 808 96;
  • 12) 0,577 568 808 96 × 2 = 1 + 0,155 137 617 92;
  • 13) 0,155 137 617 92 × 2 = 0 + 0,310 275 235 84;
  • 14) 0,310 275 235 84 × 2 = 0 + 0,620 550 471 68;
  • 15) 0,620 550 471 68 × 2 = 1 + 0,241 100 943 36;
  • 16) 0,241 100 943 36 × 2 = 0 + 0,482 201 886 72;
  • 17) 0,482 201 886 72 × 2 = 0 + 0,964 403 773 44;
  • 18) 0,964 403 773 44 × 2 = 1 + 0,928 807 546 88;
  • 19) 0,928 807 546 88 × 2 = 1 + 0,857 615 093 76;
  • 20) 0,857 615 093 76 × 2 = 1 + 0,715 230 187 52;
  • 21) 0,715 230 187 52 × 2 = 1 + 0,430 460 375 04;
  • 22) 0,430 460 375 04 × 2 = 0 + 0,860 920 750 08;
  • 23) 0,860 920 750 08 × 2 = 1 + 0,721 841 500 16;
  • 24) 0,721 841 500 16 × 2 = 1 + 0,443 683 000 32;
  • 25) 0,443 683 000 32 × 2 = 0 + 0,887 366 000 64;
  • 26) 0,887 366 000 64 × 2 = 1 + 0,774 732 001 28;
  • 27) 0,774 732 001 28 × 2 = 1 + 0,549 464 002 56;
  • 28) 0,549 464 002 56 × 2 = 1 + 0,098 928 005 12;
  • 29) 0,098 928 005 12 × 2 = 0 + 0,197 856 010 24;
  • 30) 0,197 856 010 24 × 2 = 0 + 0,395 712 020 48;
  • 31) 0,395 712 020 48 × 2 = 0 + 0,791 424 040 96;
  • 32) 0,791 424 040 96 × 2 = 1 + 0,582 848 081 92;
  • 33) 0,582 848 081 92 × 2 = 1 + 0,165 696 163 84;
  • 34) 0,165 696 163 84 × 2 = 0 + 0,331 392 327 68;
  • 35) 0,331 392 327 68 × 2 = 0 + 0,662 784 655 36;
  • 36) 0,662 784 655 36 × 2 = 1 + 0,325 569 310 72;
  • 37) 0,325 569 310 72 × 2 = 0 + 0,651 138 621 44;
  • 38) 0,651 138 621 44 × 2 = 1 + 0,302 277 242 88;
  • 39) 0,302 277 242 88 × 2 = 0 + 0,604 554 485 76;
  • 40) 0,604 554 485 76 × 2 = 1 + 0,209 108 971 52;
  • 41) 0,209 108 971 52 × 2 = 0 + 0,418 217 943 04;
  • 42) 0,418 217 943 04 × 2 = 0 + 0,836 435 886 08;
  • 43) 0,836 435 886 08 × 2 = 1 + 0,672 871 772 16;
  • 44) 0,672 871 772 16 × 2 = 1 + 0,345 743 544 32;
  • 45) 0,345 743 544 32 × 2 = 0 + 0,691 487 088 64;
  • 46) 0,691 487 088 64 × 2 = 1 + 0,382 974 177 28;
  • 47) 0,382 974 177 28 × 2 = 0 + 0,765 948 354 56;
  • 48) 0,765 948 354 56 × 2 = 1 + 0,531 896 709 12;
  • 49) 0,531 896 709 12 × 2 = 1 + 0,063 793 418 24;
  • 50) 0,063 793 418 24 × 2 = 0 + 0,127 586 836 48;
  • 51) 0,127 586 836 48 × 2 = 0 + 0,255 173 672 96;
  • 52) 0,255 173 672 96 × 2 = 0 + 0,510 347 345 92;
  • 53) 0,510 347 345 92 × 2 = 1 + 0,020 694 691 84;
  • 54) 0,020 694 691 84 × 2 = 0 + 0,041 389 383 68;
  • 55) 0,041 389 383 68 × 2 = 0 + 0,082 778 767 36;
  • 56) 0,082 778 767 36 × 2 = 0 + 0,165 557 534 72;
  • 57) 0,165 557 534 72 × 2 = 0 + 0,331 115 069 44;
  • 58) 0,331 115 069 44 × 2 = 0 + 0,662 230 138 88;
  • 59) 0,662 230 138 88 × 2 = 1 + 0,324 460 277 76;
  • 60) 0,324 460 277 76 × 2 = 0 + 0,648 920 555 52;
  • 61) 0,648 920 555 52 × 2 = 1 + 0,297 841 111 04;
  • 62) 0,297 841 111 04 × 2 = 0 + 0,595 682 222 08;
  • 63) 0,595 682 222 08 × 2 = 1 + 0,191 364 444 16;
  • 64) 0,191 364 444 16 × 2 = 0 + 0,382 728 888 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 016 02(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 016 02(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 016 02(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010 =

0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010


Numărul zecimal -0,000 282 016 02 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0111 0001 1001 0101 0011 0101 1000 1000 0010 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 016 84 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100