-0,000 282 016 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 016 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 016 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 016 04| = 0,000 282 016 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 016 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 016 04 × 2 = 0 + 0,000 564 032 08;
  • 2) 0,000 564 032 08 × 2 = 0 + 0,001 128 064 16;
  • 3) 0,001 128 064 16 × 2 = 0 + 0,002 256 128 32;
  • 4) 0,002 256 128 32 × 2 = 0 + 0,004 512 256 64;
  • 5) 0,004 512 256 64 × 2 = 0 + 0,009 024 513 28;
  • 6) 0,009 024 513 28 × 2 = 0 + 0,018 049 026 56;
  • 7) 0,018 049 026 56 × 2 = 0 + 0,036 098 053 12;
  • 8) 0,036 098 053 12 × 2 = 0 + 0,072 196 106 24;
  • 9) 0,072 196 106 24 × 2 = 0 + 0,144 392 212 48;
  • 10) 0,144 392 212 48 × 2 = 0 + 0,288 784 424 96;
  • 11) 0,288 784 424 96 × 2 = 0 + 0,577 568 849 92;
  • 12) 0,577 568 849 92 × 2 = 1 + 0,155 137 699 84;
  • 13) 0,155 137 699 84 × 2 = 0 + 0,310 275 399 68;
  • 14) 0,310 275 399 68 × 2 = 0 + 0,620 550 799 36;
  • 15) 0,620 550 799 36 × 2 = 1 + 0,241 101 598 72;
  • 16) 0,241 101 598 72 × 2 = 0 + 0,482 203 197 44;
  • 17) 0,482 203 197 44 × 2 = 0 + 0,964 406 394 88;
  • 18) 0,964 406 394 88 × 2 = 1 + 0,928 812 789 76;
  • 19) 0,928 812 789 76 × 2 = 1 + 0,857 625 579 52;
  • 20) 0,857 625 579 52 × 2 = 1 + 0,715 251 159 04;
  • 21) 0,715 251 159 04 × 2 = 1 + 0,430 502 318 08;
  • 22) 0,430 502 318 08 × 2 = 0 + 0,861 004 636 16;
  • 23) 0,861 004 636 16 × 2 = 1 + 0,722 009 272 32;
  • 24) 0,722 009 272 32 × 2 = 1 + 0,444 018 544 64;
  • 25) 0,444 018 544 64 × 2 = 0 + 0,888 037 089 28;
  • 26) 0,888 037 089 28 × 2 = 1 + 0,776 074 178 56;
  • 27) 0,776 074 178 56 × 2 = 1 + 0,552 148 357 12;
  • 28) 0,552 148 357 12 × 2 = 1 + 0,104 296 714 24;
  • 29) 0,104 296 714 24 × 2 = 0 + 0,208 593 428 48;
  • 30) 0,208 593 428 48 × 2 = 0 + 0,417 186 856 96;
  • 31) 0,417 186 856 96 × 2 = 0 + 0,834 373 713 92;
  • 32) 0,834 373 713 92 × 2 = 1 + 0,668 747 427 84;
  • 33) 0,668 747 427 84 × 2 = 1 + 0,337 494 855 68;
  • 34) 0,337 494 855 68 × 2 = 0 + 0,674 989 711 36;
  • 35) 0,674 989 711 36 × 2 = 1 + 0,349 979 422 72;
  • 36) 0,349 979 422 72 × 2 = 0 + 0,699 958 845 44;
  • 37) 0,699 958 845 44 × 2 = 1 + 0,399 917 690 88;
  • 38) 0,399 917 690 88 × 2 = 0 + 0,799 835 381 76;
  • 39) 0,799 835 381 76 × 2 = 1 + 0,599 670 763 52;
  • 40) 0,599 670 763 52 × 2 = 1 + 0,199 341 527 04;
  • 41) 0,199 341 527 04 × 2 = 0 + 0,398 683 054 08;
  • 42) 0,398 683 054 08 × 2 = 0 + 0,797 366 108 16;
  • 43) 0,797 366 108 16 × 2 = 1 + 0,594 732 216 32;
  • 44) 0,594 732 216 32 × 2 = 1 + 0,189 464 432 64;
  • 45) 0,189 464 432 64 × 2 = 0 + 0,378 928 865 28;
  • 46) 0,378 928 865 28 × 2 = 0 + 0,757 857 730 56;
  • 47) 0,757 857 730 56 × 2 = 1 + 0,515 715 461 12;
  • 48) 0,515 715 461 12 × 2 = 1 + 0,031 430 922 24;
  • 49) 0,031 430 922 24 × 2 = 0 + 0,062 861 844 48;
  • 50) 0,062 861 844 48 × 2 = 0 + 0,125 723 688 96;
  • 51) 0,125 723 688 96 × 2 = 0 + 0,251 447 377 92;
  • 52) 0,251 447 377 92 × 2 = 0 + 0,502 894 755 84;
  • 53) 0,502 894 755 84 × 2 = 1 + 0,005 789 511 68;
  • 54) 0,005 789 511 68 × 2 = 0 + 0,011 579 023 36;
  • 55) 0,011 579 023 36 × 2 = 0 + 0,023 158 046 72;
  • 56) 0,023 158 046 72 × 2 = 0 + 0,046 316 093 44;
  • 57) 0,046 316 093 44 × 2 = 0 + 0,092 632 186 88;
  • 58) 0,092 632 186 88 × 2 = 0 + 0,185 264 373 76;
  • 59) 0,185 264 373 76 × 2 = 0 + 0,370 528 747 52;
  • 60) 0,370 528 747 52 × 2 = 0 + 0,741 057 495 04;
  • 61) 0,741 057 495 04 × 2 = 1 + 0,482 114 990 08;
  • 62) 0,482 114 990 08 × 2 = 0 + 0,964 229 980 16;
  • 63) 0,964 229 980 16 × 2 = 1 + 0,928 459 960 32;
  • 64) 0,928 459 960 32 × 2 = 1 + 0,856 919 920 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 016 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 016 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 016 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011 =

0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011


Numărul zecimal -0,000 282 016 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0111 0001 1010 1011 0011 0011 0000 1000 0000 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 016 01 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100