-0,000 282 016 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 016 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 016 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 016 4| = 0,000 282 016 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 016 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 016 4 × 2 = 0 + 0,000 564 032 8;
  • 2) 0,000 564 032 8 × 2 = 0 + 0,001 128 065 6;
  • 3) 0,001 128 065 6 × 2 = 0 + 0,002 256 131 2;
  • 4) 0,002 256 131 2 × 2 = 0 + 0,004 512 262 4;
  • 5) 0,004 512 262 4 × 2 = 0 + 0,009 024 524 8;
  • 6) 0,009 024 524 8 × 2 = 0 + 0,018 049 049 6;
  • 7) 0,018 049 049 6 × 2 = 0 + 0,036 098 099 2;
  • 8) 0,036 098 099 2 × 2 = 0 + 0,072 196 198 4;
  • 9) 0,072 196 198 4 × 2 = 0 + 0,144 392 396 8;
  • 10) 0,144 392 396 8 × 2 = 0 + 0,288 784 793 6;
  • 11) 0,288 784 793 6 × 2 = 0 + 0,577 569 587 2;
  • 12) 0,577 569 587 2 × 2 = 1 + 0,155 139 174 4;
  • 13) 0,155 139 174 4 × 2 = 0 + 0,310 278 348 8;
  • 14) 0,310 278 348 8 × 2 = 0 + 0,620 556 697 6;
  • 15) 0,620 556 697 6 × 2 = 1 + 0,241 113 395 2;
  • 16) 0,241 113 395 2 × 2 = 0 + 0,482 226 790 4;
  • 17) 0,482 226 790 4 × 2 = 0 + 0,964 453 580 8;
  • 18) 0,964 453 580 8 × 2 = 1 + 0,928 907 161 6;
  • 19) 0,928 907 161 6 × 2 = 1 + 0,857 814 323 2;
  • 20) 0,857 814 323 2 × 2 = 1 + 0,715 628 646 4;
  • 21) 0,715 628 646 4 × 2 = 1 + 0,431 257 292 8;
  • 22) 0,431 257 292 8 × 2 = 0 + 0,862 514 585 6;
  • 23) 0,862 514 585 6 × 2 = 1 + 0,725 029 171 2;
  • 24) 0,725 029 171 2 × 2 = 1 + 0,450 058 342 4;
  • 25) 0,450 058 342 4 × 2 = 0 + 0,900 116 684 8;
  • 26) 0,900 116 684 8 × 2 = 1 + 0,800 233 369 6;
  • 27) 0,800 233 369 6 × 2 = 1 + 0,600 466 739 2;
  • 28) 0,600 466 739 2 × 2 = 1 + 0,200 933 478 4;
  • 29) 0,200 933 478 4 × 2 = 0 + 0,401 866 956 8;
  • 30) 0,401 866 956 8 × 2 = 0 + 0,803 733 913 6;
  • 31) 0,803 733 913 6 × 2 = 1 + 0,607 467 827 2;
  • 32) 0,607 467 827 2 × 2 = 1 + 0,214 935 654 4;
  • 33) 0,214 935 654 4 × 2 = 0 + 0,429 871 308 8;
  • 34) 0,429 871 308 8 × 2 = 0 + 0,859 742 617 6;
  • 35) 0,859 742 617 6 × 2 = 1 + 0,719 485 235 2;
  • 36) 0,719 485 235 2 × 2 = 1 + 0,438 970 470 4;
  • 37) 0,438 970 470 4 × 2 = 0 + 0,877 940 940 8;
  • 38) 0,877 940 940 8 × 2 = 1 + 0,755 881 881 6;
  • 39) 0,755 881 881 6 × 2 = 1 + 0,511 763 763 2;
  • 40) 0,511 763 763 2 × 2 = 1 + 0,023 527 526 4;
  • 41) 0,023 527 526 4 × 2 = 0 + 0,047 055 052 8;
  • 42) 0,047 055 052 8 × 2 = 0 + 0,094 110 105 6;
  • 43) 0,094 110 105 6 × 2 = 0 + 0,188 220 211 2;
  • 44) 0,188 220 211 2 × 2 = 0 + 0,376 440 422 4;
  • 45) 0,376 440 422 4 × 2 = 0 + 0,752 880 844 8;
  • 46) 0,752 880 844 8 × 2 = 1 + 0,505 761 689 6;
  • 47) 0,505 761 689 6 × 2 = 1 + 0,011 523 379 2;
  • 48) 0,011 523 379 2 × 2 = 0 + 0,023 046 758 4;
  • 49) 0,023 046 758 4 × 2 = 0 + 0,046 093 516 8;
  • 50) 0,046 093 516 8 × 2 = 0 + 0,092 187 033 6;
  • 51) 0,092 187 033 6 × 2 = 0 + 0,184 374 067 2;
  • 52) 0,184 374 067 2 × 2 = 0 + 0,368 748 134 4;
  • 53) 0,368 748 134 4 × 2 = 0 + 0,737 496 268 8;
  • 54) 0,737 496 268 8 × 2 = 1 + 0,474 992 537 6;
  • 55) 0,474 992 537 6 × 2 = 0 + 0,949 985 075 2;
  • 56) 0,949 985 075 2 × 2 = 1 + 0,899 970 150 4;
  • 57) 0,899 970 150 4 × 2 = 1 + 0,799 940 300 8;
  • 58) 0,799 940 300 8 × 2 = 1 + 0,599 880 601 6;
  • 59) 0,599 880 601 6 × 2 = 1 + 0,199 761 203 2;
  • 60) 0,199 761 203 2 × 2 = 0 + 0,399 522 406 4;
  • 61) 0,399 522 406 4 × 2 = 0 + 0,799 044 812 8;
  • 62) 0,799 044 812 8 × 2 = 1 + 0,598 089 625 6;
  • 63) 0,598 089 625 6 × 2 = 1 + 0,196 179 251 2;
  • 64) 0,196 179 251 2 × 2 = 0 + 0,392 358 502 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 016 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 016 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 016 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110 =

0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110


Numărul zecimal -0,000 282 016 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0111 0011 0011 0111 0000 0110 0000 0101 1110 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 009 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100